第一章 章末总结 知识点一四种命题间的关系命题是能够判断真假、用文字或符号表述的语句一个命题与它的逆命题、否命题之间的关系是不确定的，与它的逆否命题的真假性相同，两个命题是等价的；原命题的逆命题和否命题也是互为逆否命题例1判断下列命题的真假(1)若xAB，则xB的逆命题与逆否命题；(2)若0x5，则|x2|3的否命题与逆否命题；(3)设a、b为非零向量，如果ab，则ab0的逆命题和否命题知识点二充要条件及其应用充分条件和必要条件的判定是高中数学的重点内容，综合考察数学各部分知识，是高考的热点，判断方法有以下几种：(1)定义法(2)传递法：对于较复杂的关系，常用推出符号进行传递，根据这些符号所组成的图示就可以得出结论互为逆否的两个命题具有等价性，运用这一原理，可将不易直接判断的命题化为其逆否命题加以判断(3)等价命题法：对于含有逻辑联结词“非”的充分条件、必要条件的判断，往往利用原命题与其逆否命题是等价命题的结论进行转化(4)集合法：与逻辑有关的许多数学问题可以用范围解两个命题之间的关系，这时如果能运用数形结合的思想(如数轴或Venn图等)就能更加直观、形象地判断出它们之间的关系例2若p：2a0,0b1；q：关于x的方程x2axb0有两个小于1的正根，则p是q的什么条件？例3设p：实数x满足x24ax3a20，a0.且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围知识点三逻辑联结词的应用对于含逻辑联结词的命题，根据逻辑联结词的含义，利用真值表判定真假利用含逻辑联结词命题的真假，判定字母的取值范围是各类考试的热点之一例4判断下列命题的真假(1)对于任意x，若x30，则x30；(2)若x3或x5，则(x3)(x6)0.例5设命题p：函数f(x)lg的定义域为R；命题q：不等式4；(3)对任意实数x，x0；(4)有些质数是奇数例7已知函数f(x)x22x5.(1)是否存在实数m，使不等式mf(x)0对于任意xR恒成立，并说明理由(2)若存在一个实数x0，使不等式mf(x0)0成立，求实数m的取值范围章末总结重点解读例1解(1)若xAB，则xB是假命题，故其逆否命题为假，逆命题为若xB，则xAB，为真命题(2)0x5，2x23，0|x2|3.原命题为真，故其逆否命题为真否命题：若x0或x5，则|x2|3.例如当x，3.故否命题为假(3)原命题：a，b为非零向量，abab0为真命题逆命题：若a，b为非零向量，ab0ab为真命题否命题：设a，b为非零向量，a不垂直bab0也为真例2解若a1，b，则a24b0，关于x的方程x2axb0无实根，故pq.若关于x的方程x2axb0有两个小于1的正根，不妨设这两个根为x1、x2，且0x1x21，则x1x2a，x1x2b.于是0a2,0b1，即2a0,0b1，故qp.所以，p是q的必要不充分条件例3解设Ax|px|x24ax3a20，a0x|3axa，a0x|x4或x2綈p是綈q的必要不充分条件，q是p的必要不充分条件AB，或，解得a0恒成立得，a2.q：由1，则x，t1a，2(t1)1均成立2，a1.p或q为真，p且q为假，p与q一真一假若p真q假，a2且a0可化为mf(x)，即mx22x5(x1)24.要使m(x1)24对于任意xR恒成立，只需m4即可故存在实数m，使不等式mf(x)0对于任意xR恒成立，此时，只需m4.(2)不等式mf(x0)0可化为mf(x0)，若存在一个实数x0，使不等式mf(x0)成立，只需mf(x)min.又f(x)(x1)24，f(x)min4，m4.所以，所求实数m的取值范围是(4，)