第二章,基本初等函数(),2.3 幂函数,学习目标 1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式.,3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小.,栏目索引 CONTENTS PAGE,1,预习导学 挑战自我，点点落实,2,课堂讲义 重点难点，个个击破,3,当堂检测 当堂训练，体验成功,预习导学 挑战自我，点点落实,知识链接 函数yx，yx2，y (x0)的图象和性质,R,增,奇,*,2.3 幂函数,0，),(，0,0，),偶,x|x0,减,减,奇,*,2.3 幂函数,预习导引 1.幂函数的概念 一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量，是常数.,yx,*,2.3 幂函数,2.幂函数的图象与性质,*,2.3 幂函数,0，),(，0) (0，),0，),0，),y|yR，且 y0,奇,偶,奇,非奇非偶,奇,*,2.3 幂函数,增,增,减,增,增,减,减,(1,1),课堂讲义 重点难点，个个击破,要点一 幂函数的概念 例1 函数f(x)(m2m1)x 是幂函数，且当x(0，)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式. 解 根据幂函数定义得， m2m11，解得m2或m1， 当m2时，f(x)x3在(0，)上是增函数， 当m1时，f(x)x3，在(0，)上是减函数，不合要求. f(x)的解析式为f(x)x3.,*,2.3 幂函数,规律方法 1.本题在求解中常因不理解幂函数的概念而找不出“m2m11”这一等量关系，导致解题受阻. 2.幂函数yx(R)中，为常数，系数为1，底数为单一的x.这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准.幂函数与指数函数的解析式形同而实异，解题时一定要分清，以防出错.,*,2.3 幂函数,跟踪演练1 已知幂函数f(x)x的图象经过点(9,3)，则f(100)_. 解析 由题意可知f(9)3，即93，,10,*,2.3 幂函数,*,2.3 幂函数,答案 B,*,2.3 幂函数,规律方法 幂函数图象的特征：(1)在第一象限内，直线x1的右侧，yx的图象由上到下，指数由大变小；在第一象限内，直线x1的左侧，yx的图象由上到下，指数由小变大.(2)当0时，幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点，在第一象限内，当01时，曲线上凸；当1时，曲线下凸；当0时，幂函数的图象都经过(1,1)点，在第一象限内，曲线下凸.,*,2.3 幂函数,跟踪演练2 如图是幂函数yxm与yxn在第一象限内的图象，则( ),A.1n0m1 B.n1,0m1 C.1n0，m1 D.n1，m1,*,2.3 幂函数,解析 在(0,1)内取同一值x0，作直线xx0，与各图象有交点，如图所示.根据点低指数大，有0m1，n1.,答案 B,*,2.3 幂函数,*,2.3 幂函数,*,2.3 幂函数,*,2.3 幂函数,(4)0.20.6与0.30.4. 解 由幂函数的单调性，知0.20.60.30.6， 又y0.3x是减函数， 0.30.40.30.6，从而0.20.60.30.4.,*,2.3 幂函数,规律方法 1.比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数：(1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数；(2)若指数不同而底数相同，则构造指数函数. 2.若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数或底数化为相同，是否可以引入中间量.,*,2.3 幂函数,*,2.3 幂函数,(2)3.143与3； 解 yx3是R上的增函数，且3.14， 3.1433，3.1433.,*,2.3 幂函数,当堂检测 当堂训练，体验成功,1,2,3,4,5,1.下列函数是幂函数的是( ) A.y5x B.yx5 C.y5x D.y(x1)3 解析 函数y5x是指数函数，不是幂函数； 函数y5x是正比例函数，不是幂函数； 函数y(x1)3的底数不是自变量x，不是幂函数； 函数yx5是幂函数.,B,*,2.3 幂函数,1,2,3,4,5,D,*,2.3 幂函数,1,2,3,4,5,*,2.3 幂函数,1,2,3,4,5,解析 可知当1,1,3时，yx为奇函数， 又yx的定义域为R，则1,3. 答案 A,*,2.3 幂函数,1,2,3,4,5,abc,而c(2)3230，abc.,*,2.3 幂函数,1,2,3,4,5,5.幂函数f(x)(m2m1)x 在(0，)上是减函数，则实数m_. 解析 f(x)(m2m1)x 为幂函数， m2m11，m2或m1. 当m2时，f(x)x3在(0，)上是减函数， 当m1时，f(x)x01不符合题意. 综上可知m2.,2,*,2.3 幂函数,课堂小结 1.幂函数yx的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量. 2.幂函数在第一象限内指数变化规律 在第一象限内直线x1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小.,*,2.3 幂函数,3.简单幂函数的性质 (1)所有幂函数在(0，)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)1. (2)如果0，幂函数在0，)上有意义，且是增函数. (3)如果0，幂函数在x0处无意义，在(0，)上是减函数.,