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1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质,问题提出,问题1.根据正弦函数和余弦函数的图象,你能说出它们具有哪些性质?,注意:求函数定义域首先应考察函数的定义域是否关于原点 对称这一必要条件.,周期函数的概念,思考1:观察上图, 正弦曲线每相隔 个单位重复出现.,.,2,诱导公式,其理论依据是什么?,当自变量x的值增加2的整数倍时,函数值重复出现.数学上,用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律,思考2:设f(x)=sinx,则 可以怎样表示?,f(x+2k)=f(x),这就是说:当自变量x的值增加到x+2k时,函数值重复出现. 为了突出函数的这个特性,我们把函数f(x)=sinx称为周期函数,2k为这个函数的周期 (其中kz且k0).,思考3:把函数f(x)=sinx称为周期函数.那么,一般地,如何定义周期函数呢?,【周期函数的定义】对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有 f(x+T)=f(x) 那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T就叫做这个函数的周期.,思考4:周期函数的周期是否唯一?正弦函数y=sinx的周期有哪些?,答:周期函数的周期不止一个. 2,4,6,都是正弦函数的周期,事实上,任何一个常数2k(kz且k0)都是它的周期.,【周期函数的定义】对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有 f(x+T)=f(x) 那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T就叫做这个函数的周期.,【最小正周期】 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数, 则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.,今后本书中所涉及到的周期,如果不加特别说明,一般都是指函数的最小正周期.,【周期函数的定义】对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有 f(x+T)=f(x) 那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T就叫做这个函数的周期. 【最小正周期】如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数, 则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.,答:正弦函数y=sinx有最小正周期,且最小正周期T=2,思考5:我们知道 2,4,6,都是y=sinx的周期,那么函数y=sinx有最小正周期吗?若有,那么最小正周期T等于多少?,正弦函数y=sinx是周期函数,2k(kZ且 k0)都是它的周期,最小正周期 T=2 余弦函数y=cosx是周期函数,2k(kZ且 k0)都是周期,最小正周期 T=2,思考6:就周期性而言,对正弦函数有什么结论?对余弦函数呢?,二:周期概念的拓展,思考1:判断下列说法是否正确,思考2:周期函数的定义域有什么特点?,函数f(x)=sinx(x0)是周期函数( ) 函数f(x)=sinx(x0)是周期函数( ) 函数f(x)=sinx(x3k)是周期函数( ) 函数f(x)=sinx,x0,10是周期函数( ),例1 求下列函数的周期: y=3cosx,xR; y=sin2x,xR; y=2sin( - ),xR;, 3cos(x+2)= 由周期函数的定义可知,原函数的周期为2,【解】,3cosx,y=sin2x,xR;,sin2(x+)= 由周期函数的定义可知,原函数的周期为,sin2x,解:,y=2sin( - ),xR;,由周期函数的定义可知,原函数的周期为4,解:,一般地,函数y=Asin(x+) (A0, 0)的最小正周期是多少?,由上例知函数y=3cosx的周期 T= 2; 函数y=sin2x的周期 T=; 函数y=2sin( - )的周期 T=4 想一想:以上这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗?,例2 已知定义在R上的函数f(x)满足 f(x2)f(x)=0,试判断f(x)是否为周期函数?,分析由已知有:f(x2)= -f(x) f(x+4)= 即 f(x4)=f(x) 由周期函数的定义知,f(x)是周期函数.,f(x),=-f(x)=,-f(x2),f(x2)+2=,如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数, 则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x)那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T就叫做这个函数的周期.,归 纳 整 理,1.说说周期函数的定义.,3.什么叫周期函数的最小正周期?,2.函数的周期性是函数的一个基本性质,判断一个函数是否为周期函数,一般以定义为依据,检验它是否存在非零常数T,对定义域内任一实数x,f(xT)=f(x)恒成立.,4.函数y=Asin(x+)和y=Acos(x+) (A0)的最小 正周期 T=,这个公式,解题时可以直接应用,练习:1,2,3.,
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