第四章 4.1 圆的方程,4.1.1 圆的标准方程,学习目标,1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点. 2.会根据已知条件求圆的标准方程. 3.能准确判断点与圆的位置关系.,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,栏目索引,知识梳理 自主学习,知识点一 圆的定义及圆的标准方程 1.圆的定义,答案,(xa)2(yb)2r2,x2y2r2,平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆. 其中定点是圆的圆心；定长是圆的半径. 2.圆的标准方程,思考 方程(xa)2(yb)2m2一定表示圆吗？,答案,答 不一定.当m0时表示点(a，b)，当m0时，表示圆.,知识点二 点与圆的位置关系 点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内，判断点与圆的位置关系有两种方法： (1)几何法：将所给的点M与圆心C的距离跟半径r比较： 若|CM|r，则点M在 ； 若|CM|r，则点M在 ； 若|CM|r，则点M在 .,答案,圆内,圆上,圆外,(2)代数法：可利用圆C的标准方程(xa)2(yb)2r2来确定： 点M(m，n)在 (ma)2(nb)2r2； 点M(m，n)在 (ma)2(nb)2r2； 点M(m，n)在 (ma)2(nb)2r2. 思考 确定点与圆的位置关系的关键是什么？,答 关键是点与圆心的距离与半径的大小比较.,答案,返回,圆C上 圆C外 圆C内,题型探究 重点突破,题型一 求圆的标准方程 例1 已知圆过两点A(3，1)，B(1，3)，且它的圆心在直线3xy20上，求此圆的标准方程.,解析答案,反思与感悟,解 方法一 设所求圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，,解析答案,反思与感悟,故所求圆的标准方程为(x2)2(y4)210.,所以线段AB的垂直平分线m的斜率为2.,解析答案,反思与感悟,因此直线m的方程为y22(x1)， 即2xy0. 又因为圆心在直线3xy20上， 所以圆心是这两条直线的交点.,设圆心为C，所以圆心坐标为(2，4).,反思与感悟,所以所求圆的标准方程为(x2)2(y4)210. 方法三 设圆心为C. 因为圆心在直线3xy20上， 所以可设圆心C的坐标为(a，3a2). 又因为|CA|CB|，,解得a2.,故所求圆的标准方程为(x2)2(y4)210.,求圆的标准方程的三种常用方法：方法一是待定系数法；方法二、方法三是由平面几何的性质直接求得圆心坐标和半径.其中待定系数法思路直接体现了方程的思想，是通用方法；方法二和方法三对像圆这样的有明确的几何性质的曲线解答较简捷，运算量也不大.在解题过程中，要仔细审题，充分利用圆的性质，如圆上一点到圆心的距离就是半径，圆的任一弦的垂直平分线均过圆心等.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练1 ABC的三个顶点分别为A(0，5)，B(1，2)，C(3，4)，求其外接圆的标准方程.,解析答案,解 方法一 设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2. 因为A(0，5)，B(1，2)，C(3，4)都在圆上，,故所求外接圆的标准方程是(x3)2(y1)225.,解析答案,方法二 因为A(0，5)，B(1，2)，,即x7y100， 同理，线段BC的垂直平分线的方程是2xy50.,得圆心的坐标为(3，1).,所以所求外接圆的标准方程是(x3)2(y1)225.,解析答案,题型二 点与圆的位置关系的判断 例2 已知点A(1，2)不在圆C：(xa)2(ya)22a2的内部，求实数a的取值范围.,解 由题意，得点A在圆C上或圆C的外部， (1a)2(2a)22a2， 2a50，,反思与感悟,反思与感悟,判断点P(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系有几何法与代数法两种，对于几何法，主要是利用点与圆心的距离与半径比较大小. 对于代数法，主要是把点的坐标直接代入圆的标准方程，具体判断方法如下： 当(x0a)2(y0b)2r2时，点在圆外.,解析答案,跟踪训练2 若点(1，1)在圆(xa)2(ya)24的内部，则a的取值范围是( ) A.1a1 B.0a1 C.a1或a1 D.1a0,解析 直接利用点与圆的位置关系来判断. 点(1，1)在圆的内部， (1a)2(1a)24. 解得1a1.,A,解析答案,题型三 圆的方程的综合应用 例3 已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1，0)，B(5，0)， (1)求此圆的标准方程；,所求方程为(x3)2y24.,解析答案,(2)设P(x，y)为圆C上任意一点，求P(x，y)到直线xy10的距离的最大值和最小值.,反思与感悟,反思与感悟 解答此类题目经常应用圆的性质，解题过程中用数形结合的思想能有效地找到解题的捷径，即过圆心作已知直线的垂线，便于求解.,解析答案,跟踪训练3 已知圆C：(x3)2(y4)21，点A(0，1)，B(0，1)，设P是圆C上的动点，令d|PA|2|PB|2，求d的最大值及最小值.,解 设P(x，y)， 则d|PA|2|PB|22(x2y2)2. |CO|2324225， (51)2x2y2(51)2. 即16x2y236. d的最小值为216234. 最大值为236274.,解析答案,解后反思,例4 已知圆的圆心在x轴上，半径长为5，且截y轴所得的线段长为8，求该圆的标准方程.,返回,求圆的标准方程,解题方法,分析 由圆心在x轴上，即圆心的纵坐标为0，半径长为5，结合在y轴上截得的线段长为8，可构造直角三角形求解，也可设出圆的方程，利用待定系数法求解. 解 方法一 如图，由题设|AC|r5，|AB|8， 所以|AO|4. 在RtAOC中，,解析答案,解后反思,设点C的坐标为(a，0)， 则|OC|a|3.,解后反思,所以a3. 所以所求圆的标准方程为(x3)2y225或(x3)2y225. 方法二 由题意设所求圆的方程为(xa)2y225. 因为圆截y轴所得线段长为8， 所以圆过点A(0，4). 代入方程，得a21625. 所以a3. 所以所求圆的标准方程为(x3)2y225或(x3)2y225.,解后反思,此题在求解圆的标准方程时，方法一注意不要漏掉圆心在x轴负半轴上的情况，借助图形解决数学问题直观但缺乏精细.若采用计算推理，则两种情况都可求得.,返回,当堂检测,1,2,3,4,5,解析答案,C,解析答案,2.圆心是O(3，4)，半径长为5的圆的方程为( ) A.(x3)2(y4)25 B.(x3)2(y4)225 C.(x3)2(y4)25 D.(x3)2(y4)225,D,解析 将O(3，4)，r5代入圆的标准方程可得.,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,解析答案,B,故圆的标准方程为(x1)2(y1)22.,解析答案,4.点P(5a1，12a)在圆(x1)2y21的外部，则a的取值范围为( ),D,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,解析答案,解析 由题意知圆C的圆心为(0，1)，半径为1， 所以圆C的标准方程为x2(y1)21.,5.若圆C的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线yx对称，则圆C的标准方程为_.,x2(y1)21,课堂小结,1.确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r或直接求出圆心(a，b)和半径r.另外依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率. 2.讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、快捷.,返回,