考点6 导数、定积分 1.（2010 海南高考理科T3）曲线在点处的切线方程为（ ）（A） （B） （C） （D）【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解.【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程.【规范解答】选A.因为 ，所以，在点处的切线斜率，所以，切线方程为，即，故选A.2.（2010山东高考文科8）已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（ ）(A) 13万件 (B) 11万件(C) 9万件 (D) 7万件【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析问题解决问题的能力和运算求解能力.【思路点拨】利用导数求函数的最值.【规范解答】选C.,令得或（舍去），当时；当时，故当时函数有极大值，也是最大值，故选C.3.（2010山东高考理科7）由曲线y=,y=围成的封闭图形面积为（ ）（A）(B) (C) (D) 【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积,考查了考生的想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【思路点拨】先求出曲线y=,y=的交点坐标，再利用定积分求面积.【规范解答】选A.由题意得: 曲线y=,y=的交点坐标为(0,0)，(1,1)，故所求封闭图形的面积为,故选A.4.（2010辽宁高考理科10）已知点P在曲线y=上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（ ）(A)0,) (B) (C) (D) 【命题立意】本题考查了导数的几何意义，考查了基本等式，函数的值域，直线的倾斜角与斜率.【思路点拨】先求导数的值域，即tan的范围，再根据正切函数的性质求的范围.【规范解答】选D.，5.（2010湖南高考理科4）等于（ ）(A) (B) (C) (D)【命题立意】考查积分的概念和基本运算.【思路点拨】记住的原函数.【规范解答】选D .=(lnx+c) =(ln4+c)-(ln2+c)=ln2.【方法技巧】关键是记住被积函数的原函数.6.（2010江苏高考8）函数y=x2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,，若a1=16，则a1+a3+a5的值是_.【命题立意】本题考查导数的几何意义、函数的切线方程以及数列的通项等内容.【思路点拨】先由导数的几何意义求得函数y=x2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切线的斜率，然后求得切线方程，再由，即可求得切线与x轴交点的横坐标.【规范解答】由y=x2(x0)得，所以函数y=x2(x0)在点(ak,ak2)处的切线方程为：当时，解得，所以.【答案】217.（2010江苏高考4）将边长为1m正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记,则S的最小值是_ _.【命题立意】 本题考查函数中的建模在实际问题中的应用，以及等价转化思想.【思路点拨】可设剪成的小正三角形的边长为，然后用分别表示梯形的周长和面积，从而将S用x表示出来，利用函数的观点解决.【规范解答】设剪成的小正三角形的边长为，则：方法一：利用导数的方法求最小值.，当时，递减；当时，递增；故当时，S取最小值是.方法二：利用函数的方法求最小值令，则：故当时，S取最小值是.【答案】【方法技巧】函数的最值是函数最重要的性质之一，高考不但在填空题中考查，还会在应用题、函数导数的综合解答题中考查.高中阶段，常见的求函数的最值的常用方法有：换元法、有界性法、数形结合法、导数法和基本不等式法.8.（2010陕西高考理科3）从如图所示的长方形区域内任取一个点M（x,y）,则点M取自阴影部分的概率为 .【命题立意】本题考查积分、几何概型概率的简单运算，属送分题.【思路点拨】由积分求出阴影部分的面积即可求解.【规范解答】阴影部分的面积为所以点M取自阴影部分的概率为.【答案】9（2010 海南高考理科T13）设y=f(x)为区间0,1上的连续函数，且恒有0f(x) 1,可以用随机模拟方法近似计算积分,先产生两组（每组N个）区间0,1上的均匀随机数,和,由此得到N个点（i=1,2,N）,再数出其中满足（i=1,2,N）的点数，那么由随机模拟方法可得积分的近似值为 .【命题立意】本题主要考查了定积分的几何意义以及几何概型的计算公式.【思路点拨】由随机模拟想到几何概型，然后结合定积分的几何意义进行求解.【规范解答】由题意可知，所有取值构成的区域是一个边长为1的正方形，而满足的点落在y=f(x)、以及、围成的区域内，由几何概型的计算公式可知的近似值为.【答案】10.（2010北京高考理科8）已知函数()=ln(1+)-+， (0).(1)当=2时，求曲线=()在点(1，(1)处的切线方程；(2)求()的单调区间.【命题立意】本题考查了导数的应用，考查利用导数求切线方程及单调区间.解决本题时一个易错点是忽视定义域.【思路点拨】（1）求出，再代入点斜式方程即可得到切线方程；（2）由讨论的正负，从而确定单调区间.【规范解答】（1）当时， 由于， 所以曲线在点处的切线方程为 , 即 .（2），.当时，.所以，在区间上，；在区间上，.故的单调递增区间是，单调递减区间是.当时，由，得，所以，在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是.当时，故的单调递增区间是.当时，得，.所以在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是【方法技巧】（1）过的切线方程为.（2）求单调区间时要在定义域内讨论的正负.11.（2010安徽高考文科20）设函数，求函数的单调区间与极值.【命题立意】本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查考生运算能力、综合分析问题能力和问题的化归转化能力.【思路点拨】对函数求导，分析导数的符号情况，从而确定的单调区间和极值.【规范解答】, +-0+极大值极小值,.【方法技巧】利用导数研究函数的单调性和极值是解决函数单调性、极值问题的常用方法，简单易行，具体操作流程如下：（1）求导数；（2）求方程的全部实根；（3）列表，检查在方程的根左、右的值的符号；（4）判断单调区间和极值.12.（2010北京高考文科8） 设函数，且方程的两个根分别为1，4.（1）当a=3且曲线过原点时，求的解析式；（2）若在无极值点，求a的取值范围.【命题立意】本题考查了导数的求法，函数的极值，二次函数等知识.【思路点拨】(1)由的两个根及过原点，可解出；（2）是开口向上的二次函数，无极值点，则恒成立.【规范解答】由 得 ,因为的两个根分别为1,4，所以（*）（1）当时，（*）式为解得,又因为曲线过原点，所以,故.（2）由于a0,所以在（-，+）内无极值点等价于在（-，+）内恒成立.由（*）式得.又,解 得即的取值范围为【方法技巧】（1）当在的左侧为正，右侧为负时，为极大值点；当在的左侧为负，右侧为正时，为极小值点.（2）二次函数恒成立问题可利用开口方向与判别式来解决. （0）恒大于0，则；（0）恒小于0，则；13.（2010安徽高考理科17）设为实数，函数. (1)求的单调区间与极值；(2)求证：当且时，.【命题立意】本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间、求函数的极值、证明不等式，考查考生运算能力、综合分析问题能力和问题的化归转化能力.【思路点拨】(1)先分析的导数的符号情况，从而确定的单调区间和极值；(2) 设，把问题转化为：求证：当且时，.【规范解答】（1），,令，得，极小值在上单调递减，在上单调递增；当时，取得极小值为.（2）设，,由（1）问可知，恒成立，当时，则0恒成立，所以在上单调递增，所以当时，即当且时，.【方法技巧】1、利用导数研究函数的单调性是解决函数单调性问题的常用方法，简单易行；2、证明不等式问题，如证，通常令，转化为证明：.14.（2010天津高考文科20）已知函数f（x）=，其中a0. （1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程；（2）若在区间上，f（x）0恒成立，求a的取值范围.【命题立意】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法.【思路点拨】应用导数知识求解曲线的切线方程及函数最值.【规范解答】（1）当a=1时，f（x）=，f（2）=3；f(x)=, f(2)=6.所以曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.（2）f(x)=.令f(x)=0，解得x=0或x=.以下分两种情况讨论：若，当x变化时，f(x)，f（x）的变化情况如下表：x0f(x)+0-f(x)极大值 当等价于 解不等式组得-5a2，则.当x变化时，f(x),f（x）的变化情况如下表：x0f(x)+0-0+f(x)极大值极小值当时，f（x）0等价于即解不等式组得或.因此2a5. 综合（1）和（2），可知a的取值范围为0a0，此时，函数单调递减；当时，0，此时，函数单调递增.当时，由，即 ，解得. 当时， ， 恒成立，此时，函数在（0，+）上单调递减; 当时， ，时，,此时,函数单调递减，时，0,此时,函数单调递增，时，此时，函数单调递减， 当时，由于,时，,此时,函数单调递减，时，0,此时,函数单调递增.综上所述：当时，函数在上单调递减;函数在上单调递