第三节 直线的交点坐标与距离公式,一、两条直线的交点 设两条直线的方程是l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,两 条直线的 就是方程组 的解，若方程组有唯一解，则两条直线 ，此解就 是 ;若方程组 ，则两条直线无公共点， 此时两条直线 ；反之，亦成立.,交点坐标,相交,交点坐标,无解,平行,二、几种距离 1两点间的距离 平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式 |P1P2| . 原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP| .,2点到直线的距离 点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离 d .,3两条平行线间的距离 两条平行线AxByC10与AxByC20间的距离 d .,使用点到直线的距离公式和两条平行线间的距离公式时应注意什么？,提示：（1）直线方程必须化成一般式Ax+By+C=0的形式. （2）两平行线间的距离公式使用时还要注意x、y的系数必须相同时才能读出C1、C2的值.,1已知点(a,2)(a0)到直线l：xy30的距离为1，则a 等于 ( ) A. B2 C. 1 D. 1,解析：由 1且a0a1.,答案：C,2若三条直线y2x，xy3，mxny50相交于同 一点，则点(m，n)可能是 ( ) A(1，3) B(3，1) C(3,1) D(1,3),解析：由得 m2n50，点(m，n)可能是(1，3),答案：A,3两直线xy20与2x2y30的距离为 ( ),解析：d,答案：B,4与A(1,1)，B(2,2)距离等于 的直线的条数为_条,解析：共有3条：其中两条与A、B所在的直线平行，一条过A、B的中点与A、B所在的直线垂直,答案：3,5若直线ax2y60与x(a1)y(a21)0平行， 则它们之间的距离等于_,解析：因为两直线平行，所以有a(a1)2，即a2a20，解得a2或1，但当a2时，两直线重合，不合题意，故只有a1，此时两直线方程分别为x2y60和x2y0，它们之间的距离,答案：,求与已知两直线的交点有关问题，可有以下两种解法： (1)先求出两直线交点，将问题转化为过定点的直线，然后 再依其他条件求解 (2)运用过两直线交点的直线系方程：若两直线l1：A1xB1y C10，l2：A2xB2yC20有交点，则过l1与l2交点的 直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(为待定 常数，不包括直线l2)，设出方程后再利用其他条件求解,一条直线过点P(1,2)且被两条平行直线4x3y10和4x3y60截取的线段长为 ，求这条直线的 方程,确定一条直线需两个独立条件，本题中已知直线l过点P（1，2），故只需再求出直线的斜率即可.,【解】 (1)当斜率不存在时，直线方程为x1，与两直线 交点 x1不是所求直线 (2)当斜率存在时，设为k，则所求直线的方程为y2k(x1)，它与两已知直线分别联立方程组，求出它与两已知直线的交点坐标分别是,得k7或k 故所求直线的方程为x7y150或7xy50.,1求经过直线l1：3x2y10和l2：5x2y10的交 点，且垂直于直线l3：3x5y60的直线l的方程,解：法一：先解方程组得 l1、l2的交点 (1,2)，再由l3的斜率 求出l的斜率为 ，于是由直线的点斜式方程求出l：y2 (x1)，即5x3y10. 法二：ll3，故l是直线系5x3yC0中的一条，而l过l1、l2的交点(1,2)，故5(1)32C0，由此求出C1，故l的方程为5x3y10.,法三：l过l1、l2的交点，故l是直线系3x2y1(5x2y1)0中的一条，将其整理，得 (35)x(22)y(1)0， 其斜率 解得 ，代入直线系方程即得l的方程为5x 3y10.,1点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式是常用的 公式，应熟练掌握 2点到几种特殊直线的距离 (1)点P(x0，y0)到x轴的距离d|y0|. (2)点P(x0，y0)到y轴的距离d|x0|. (3)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线ya的距离d|y0a|. (4)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线xb的距离d|x0b|.,已知点P(2，1) (1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程； (2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？,设出直线方程，利用点到直线距离公式求系数即可.,【解】 (1)当l的斜率k不存在时显然成立， l的方程为x2； 当l的斜率k存在时， 设l：y1k(x2)，即kxy2k10. 由点到直线距离公式得 k l：3x4y100. 故所求l的方程为x2或3x4y100.,(2)作图可得过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，由lOP，得klkOP1， 所以kl 由直线方程的点斜式得y12(x2)， 即2xy50. 即直线2xy50是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为,2设两条直线的方程分别为xya0，xyb0，已 知a、b是方程x2xc0的两个实根，且0c ，求 这两条直线之间的距离的最大值和最小值,解：a、b是方程x2xc0的两个实根 ab1，abc. (ab)2(ab)24ab14c. 又两直线间的距离 两直线间的最大值为 ，最小值为,1中心对称 (1)若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐 标公式得 (2)直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两 点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点 坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点， 再利用l1l2，由点斜式得到所求直线方程,2轴对称 (1)点关于直线的对称 若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：AxByC0 对称，则线段P1P2的中点在对称轴l上，而且连接P1P2的 直线垂直于对称轴l，由方程组 可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B0， x1x2),(2)直线关于直线的对称 此类问题一般转化为关于直线的对称点来解决，若已知 直线l1与对称轴l相交，则交点必在与l1对称的直线l2上， 然后再求出l1上任一个已知点P1关于对称轴l对称的点P2， 那么经过交点及点P2的直线就是l2；若已知直线l1与对称 轴l平行，则与l1对称的直线和l1到直线l的距离相等，由 平行直线系和两条平行线间的距离，即可求出l1的对称 直线,已知直线l：2x3y10，点A(1，2)，求： (1)点A关于直线l的对称点A的坐标； (2)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程,（1）直线l为线段AA的垂直平分线，利用垂直 关系，中点坐标公式解方程组求出A点坐标；（2）转化为点关于直线的对称.,【解】 (1)设A(x，y)，再由已知,解得,A,(2)在直线m上取一点如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点必在m上，设对称点为M(a，b)则, M,设m与l的交点为N，由 得N(4,3) 又m经过点N(4,3)， 方程为9x46y1020.,3在本例条件下，求直线l关于点A(1，2)对称的直线 l的方程,解：设P(x，y)为l上任一点 则P(x，y)关于点A(1，2)的对称点为 P(2x，4y)， P在直线l上， 2(2x)3(4y)10， 即2x3y90.,对两直线的交点及距离公式的考查很少单独命题，多在直线与圆锥曲线位置关系中涉及，对称问题也是考查的热点，注意方法的灵活应用.2009年全国卷考查了两平行线间距离及直线倾斜角问题，设计新颖.开放性、能力性强.,(2009全国卷)若直线m被两平行线l1：xy10与l2： xy30所截得的线段的长为2 ，则m的倾斜角可以是 15 30 45 60 75 其中正确答案的序号是 (写出所有正确答案的序号),解析 如图，由两平行线间距离可得 故m与两平行线的夹角都是30，而两平行线的 倾斜角为45，则m的倾斜角为75或15，故选.,答案 ,解决本问题易忽视以下几个方面： (1)审题过程不知道求出两平行线间的距离，导致问题目标不明确 (2)求出平行线间距离，看不出m与l1、l2的夹角均为30致使思路受阻 (3)不会借助于图形分析m的各种可能性而导致少选，从而 失误 同学们思考一下，本题作如下改动后如何求解： 若直线m：x+2y-a=0与两平行线l1：x-y+1=0，l2：x-y+3=0相交且交点在y轴两侧则a的范围是 .,