(二)计算题抢分练一1.如图所示,圆环A的质量m1=10 kg,被销钉固定在竖直光滑的杆上,杆固定在地面上,A与定滑轮等高,A与定滑轮的水平距离L=3 m,不可伸长的细线一端系在A上,另一端通过定滑轮系在小物体B上,B的质量m2=2 kg,B的另一侧系在弹簧上,弹簧的另一端系在固定在斜面底端的挡板C上,弹簧的劲度系数k=40 N/m,斜面的倾角=30,B与斜面间的动摩擦因数=33,足够长的斜面固定在地面上,B受到一个水平向右的恒力F作用,F=203 N,开始时细线恰好是伸直的,但未绷紧,B是静止的,弹簧被压缩。拔出销钉,A开始下落,当A下落h=4 m 时,细线断开、B与弹簧脱离、恒力F消失,不计滑轮的摩擦和空气阻力。g=10 m/s2。求:(1)销钉拔出前弹簧的压缩量;(2)当A下落h=4 m时,A、B两个物体的速度大小关系;(3)B在斜面上运动的最大距离。2.如图(a)所示,斜面倾角为37,一宽为d=0.43 m的有界匀强磁场垂直于斜面向上,磁场边界与斜面底边平行。在斜面上由静止释放一长方形金属线框,线框沿斜面下滑,下边与磁场边界保持平行。取斜面底部为零势能面,从线框开始运动到恰好完全进入磁场的过程中,线框的机械能E和位移x之间的关系如图(b)所示,图中、均为线段。已知线框的质量为m=0.1 kg,电阻为R=0.06 ,重力加速度取g=10 m/s2, sin 37=0.6, cos 37=0.8。(1)求金属线框与斜面间的动摩擦因数;(2)求金属线框刚进入磁场到恰好完全进入磁场所用的时间t;(3)求金属线框穿越磁场的过程中,线框中产生焦耳热的最大功率Pm。答案精解精析1.答案(1)1 m(2)vB=0.8vA(3)3.8 m解析(1)对B受力分析如图(假设存在支持力FN和摩擦力Ff)由于m2g cos =F sin +FN,可知FN=0,Ff=0根据胡克定律可得kx=m2g sin +F cos =40 N解得x=1 m(2)当A下落h=4 m时,vB=vA cos ,由几何关系知 cos =hh2+L2,则vB=0.8vA(3)在A下落4 m的过程中,对系统由功能关系可得m1gh=12m1vA2+12m2vB2+m2gx sin +Fx cos 由几何关系得x=h2+L2-L=2 m之后a=g sin 30+g cos 30=10 m/s2x=vB22a=1.8 m故x总=x+x=3.8 m2.答案(1)0.5(2)0.125 s(3)0.43 W解析(1)由能量守恒定律可知,线框进入磁场前,减少的机械能等于克服摩擦力所做的功,则E1=Wf1=-mg cos 37x1其中x1=0.36 m,E1=(0.756-0.900) J=-0.144 J解得=0.5(2)金属线框进入磁场的过程中,减少的机械能等于克服摩擦力和安培力所做的功,机械能仍均匀减少,因此安培力为恒力,线框做匀速运动v12=2ax1其中a=g sin 37-g cos 37=2 m/s2可解得线框刚进入磁场时的速度大小为v1=1.2 m/sE2=-(Ff+F安)x2其中E2=(0.666-0.756) J=-0.09 JFf+F安=mg sin 37=0.6 Nx2为线框的侧边长,即线框进入磁场过程运动的距离,可求出x2=0.15 mt=x2v1=0.151.2 s=0.125 s(3)线框刚出磁场时速度最大,线框内的焦耳热功率最大由v22=v12+2a(d-x2)可求得v2=1.6 m/s线框匀速进入磁场时,F安+mg cos 37=mg sin 37解得F安=0.2 N又因为F安=B2L2v1R可求出B2L2=0.01 T2m2则Pm=B2L2v22R=0.43 W