第五节 直线、平面垂直的判定及其性质,【知识梳理】 1.直线与平面垂直 (1)定义:直线l与平面内的_一条直线都垂直,就说直线l与平面互相垂直.,任意,(2)判定定理与性质定理:,两条相交直线,平行,2.直线和平面所成的角 (1)定义:平面的一条斜线和_所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角. (2)范围: .,它在平面上的射影,3.平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念: 二面角:从一条直线出发的_所组成的图形叫做 二面角. 二面角的平面角:在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足, 在两个半平面内分别作_的两条射线,这两条射线所 构成的角叫做二面角的平面角. 二面角的范围:_.,两个半平面,垂直于棱,(2)平面和平面垂直的定义:两个平面相交,如果所成的二面角 是_,就说这两个平面互相垂直. (3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理:,直二面角,垂线,交线,【考点自测】 1.(思考)给出下列命题: 直线l不可能和两个相交平面都垂直; 当时,直线l过内一点且与交线垂直,则l; 异面直线所成的角与二面角的取值范围均为 二面角是指两个相交平面构成的图形; 若两个平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面. 其中正确的是( ) A. B. C. D.,【解析】选D.正确.否则两个平面应平行. 错误.当该点是交线上的点时,l与不一定垂直. 错误.异面直线所成角的范围是 而二面角的范围是0,. 错误.二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形. 错误.若平面平面,则平面内的直线l与可平行,可相交,也可在平面内.,2.下列条件中,能判定直线l平面的是( ) A.l与平面内的两条直线垂直 B.l与平面内无数条直线垂直 C.l与平面内的某一条直线垂直 D.l与平面内任意一条直线垂直 【解析】选D.由直线与平面垂直的定义,可知D正确.,3.已知如图,六棱锥P-ABCDEF的底面是正六 边形,PA平面ABC.则下列结论不正确的是 ( ) A.CD平面PAF B.DF平面PAF C.CF平面PAB D.CF平面PAD,【解析】选D.A中,因为CDAF,AF平面PAF,CD平面PAF,所以CD平面PAF成立; B中,因为ABCDEF为正六边形,所以DFAF. 又因为PA平面ABCDEF,所以PADF,又因为PAAF=A,所以DF平面PAF成立; C中,因为CFAB,AB平面PAB,CF平面PAB, 所以CF平面PAB; 而D中CF与AD不垂直,故选D.,4.直线a平面,b,则a与b的位置关系是 . 【解析】由b可得b平行于内的一条直线,设为b.因为a,所以ab,从而ab,但a与b可能相交,也可能异面. 答案:垂直(相交垂直或异面垂直),5.将正方形ABCD沿AC折成直二面角后,DAB= . 【解析】如图,取AC的中点O,连接DO,BO,BD, 则DOAC,BOAC,故DOB为二面角的平面 角,从而DOB=90.设正方形边长为1,则 DO=BO= ,所以DB=1,故ADB为等边三角形,所以DAB=60. 答案:60,考点1 有关垂直关系的判断 【典例1】(1)(2013新课标全国卷)已知m,n为异面直线, m平面,n平面.直线l满足lm,ln,l,l,则( ) A.且l B.且l C.与相交,且交线垂直于l D.与相交,且交线平行于l,(2)(2013广东高考)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是( ) A.若,m,n,则mn B.若,m,n,则mn C.若mn,m,n,则 D.若m,mn,n,则,【解题视点】(1)作出与直线m,n平行的直线,证明平面,相交,然后可证交线与直线l平行. (2)利用面面平行与垂直的判定与性质进行判断.,【规范解答】(1)选D.因为m,n为异面直线,m平面, n平面.所以,相交(否则m,n为平行直线). 设=l, 则lm,ln, 过空间一点P作mm,nn. 则m,n可确定平面. 由题意知:l,l. 所以ll.,(2)选D.对于选项A,分别在两个垂直平面内的两条直线平行、相交、异面都可能,但未必垂直;对于选项B,分别在两个平行平面内的两条直线平行、异面都可能;对于选项C,两个平面分别经过两垂直直线中的一条,不能保证两个平面垂直;对于选项D,m,mn,则n;又因为n,则内存在与n平行的直线l,因为n,则l,由于l,l,所以.,【规律方法】空间垂直关系的判断方法 (1)借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准、甚至无需作图在头脑中形成印象来判断. (2)寻找反例,只要存在反例,那么结论就不正确. (3)反复验证所有可能的情况,必要时要运用判定或性质定理进行简单说明.,【变式训练】(2014衡水模拟)设l是直线,是两个不同的平面( ) A.若l,l,则 B.若l,l,则 C.若,l,则l D.若,l,则l 【解析】选B.对于A,若l,l,则,可能相交;对于B,若l,则平面内必存在一直线m与l平行,则m,又m,故.选项C,l可能平行于或l在平面内;选项D,l还可能平行于或在平面内.,【加固训练】 1.如果直线l,m与平面,满足:=l,l,m且m,那么必有( ) A.且lm B.且 C.且m D.m且lm 【解析】选A.m且m,则;m且l,则lm.,2.(2013杭州模拟)设a,b,c是三条不同的直线,是两个不同的平面,则ab的一个充分条件是( ) A.ac,bc B.,a,b C.a,b D.a,b 【解析】选C.对于选项C,在平面内存在cb,因为a,所以ac,故ab;A,B选项中,直线a,b可能是平行直线,相交直线,也可能是异面直线;D选项中一定推出ab.,考点2 线面垂直的判定和性质 【考情】线面垂直的判定和性质的应用是高考立体几何的命题热点.试题以解答题形式出现,主要考查利用判定定理及性质定理证明线线垂直、线面垂直等问题,常与线面平行、线线平行问题、体积问题交汇出现,试题难度不大,易得分.,高频考点 通 关,【典例2】(1)已知ABCD为矩形,PA平面ABCD,下列判断中正确的是( ) A.ABPC B.AC平面PBD C.BC平面PAB D.平面PBC平面PDC,(2)(2013重庆高考)如图,四棱锥P-ABCD 中,PA底面ABCD,PA=2 ,BC=CD=2, ACB=ACD= 求证:BD平面PAC; 若侧棱PC上的点F满足PF=7FC, 求三棱锥P-BDF的体积.,【解题视点】(1)画出图形,结合图形判断选项的正误. (2)由BC=CD及ACB=ACD证明BDAC,再由PA底面ABCD, 得PABD.直接利用线面垂直的判定定理证明; 利用VP-BCD= SBCDPA,VF-BCD= SBCD PA,VP-BDF= VP-BCD-VF-BCD,可求解三棱锥的体积.,【规范解答】(1)选C.由题意画出几何体 的图形,如图,显然ABPC不正确;AC不垂 直PO,所以AC平面PBD不正确;BCAB, PA平面ABCD,PABC,PAAB=A, 所以BC平面PAB,正确.,(2)因BC=CD,即BCD为等腰三角形,又ACB=ACD,故BDAC. 因为PA底面ABCD,所以PABD. 从而BD与平面PAC内两条相交直线PA,AC都垂直,所以BD平面PAC.,三棱锥P-BCD的底面BCD的面积 由PA底面ABCD，得 由PF=7FC,得三棱锥F -BCD的高为 故 所以,【通关锦囊】,【特别提醒】在证明线面垂直时,一定要严格按照定理要求,不要忽视“平面中的两条相交直线”这个条件.,【关注题型】,【通关题组】 1.(2014台州模拟)如图,在矩形ABCD中,AB=2BC,点M在边CD上,点F在边AB上,且DFAM,垂足为E,若将ADM沿AM折起,使点D位于D位置,连接DB,DC得四棱锥D-ABCM.,(1)求证:AMDF. (2)若DEF= ,直线DF与平面ABCM所成角的大小为 , 求直线AD与平面ABCM所成角的正弦值.,【解析】(1)因为AMDE,AMEF, 又因为DE,EF是平面DEF内两条相交直线, 所以AM平面DEF,所以AMDF. (2)由(1)知AM平面DEF, 所以平面DEF平面ABCM,且DEF= , 所以过D作平面ABCM的垂线,垂足H必在EF上, 所以DFE是DF与平面ABCM所成角. 因为DEF= ,且DFE= , 所以DEF是等边三角形,因为DE=EF即DE=EF,所以DAF是等腰直角三角形, 设AD=2,所以AF=2,且EF= , 所以四棱锥D-ABCM的高DH= . 设直线AD与平面ABCM所成角为,则sin= 所以直线AD与平面ABCM所成角的正弦值为,2.(2013广东高考)如图，在边长为1的等边ABC中，D,E分 别是AB,AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G， 将ABF沿AF折起，得到如图所示的三棱锥A-BCF，其中 (1)证明：DE平面BCF. (2)证明：CF平面ABF. (3)当 时，求三棱锥F-DEG的体积VF-DEG,【解析】(1)在等边ABC中，AD=AE，所以 在折叠后 的三棱锥A-BCF中也成立，所以DEBC.因为DE平面BCF， BC平面BCF，所以DE平面BCF. (2)在等边ABC中，F是BC的中点， 所以AFFC， 因为在三棱锥A-BCF中， 所以BC2=BF2+CF2,CFBF. 因为BFAF=F，所以CF平面ABF.,(3)由(1)可知GECF，结合(2)可得GE平面DFG.,【加固训练】1.(2014韶关模拟)已知ABC的三边长分别为AB=5,BC=4,AC=3,M是AB边上的点,P是平面ABC外一点. 给出下列四个命题: 若PA平面ABC,则三棱锥P-ABC的四个面都是直角三角形; 若PM平面ABC,且M是AB边的中点,则有PA=PB=PC; 若PC=5,PC平面ABC,则PCM面积的最小值为 ;,若PC=5,P在平面ABC上的射影是ABC内切圆的圆心,则点P 到平面ABC的距离为 . 其中正确命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号 都填上),【解析】由题知ACBC,对于,若PA平面ABC,则PABC, 又知PAAC=A,所以BC平面PAC,所以BCPC,因此该三棱锥 P-ABC的四个面均为直角三角形,正确;对于,由已知得M为 ABC的外心,所以MA=MB=MC.因为PM平面ABC,则PMMA, PMMB,PMMC,由三角形全等可知PA=PB=PC,故正确;对于 ,要使PCM的面积最小,只需CM最短,在RtABC中,(CM)min,= ,所以(SPCM)min= 5=6,故错误;对于,设P点在 平面ABC内的射影为O,且O为ABC的内心,由平面几何知识得内 切圆半径为r=