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第十三章 轴对称,13.4 课题学习 最短路径问题,复习引入,线段公理: 两点之间,线段最短.,垂线段性质: 垂线段最短.,B,问题1,如图,牧马人从A地出发,到一条笔直的河边 l 饮马,然后到B地牧马人到河边的什么地方饮马,可使所走的路径最短?,思考: 你能把这个问题转化 为数学问题吗?,A,B,l,l,当点C在直线 l 的什么位置时,AC与BC的和最小?,分析:,A,B,l,如图,点A、B分别是直线l异侧的两个点, 如何在 l 上找到一个点,使得这个点到点A、点B 的距离的和最短?,联想:,两点之间,线段最短.,?,l,(1)这两个问题之间,有什么相同点和不同点? (2)我们能否把A、B两点转化到直线l 的异侧呢? 转化需要遵循的原则是什么? (3)利用什么知识可以实现转化目标?,分析:,l,如下左图,作点B关于直线 l 的对称点B . 当点C在直线 l 的什么位置时,AC与CB的和最小?,如上右图,在连接AB两点的线中,线段AB最短. 因此,线段AB与直线 l 的交点C的位置即为所求.,l,在直线 l 上任取另一点C , 连接AC 、BC 、B C 直线 l 是点B、B的对称轴, 点C、C在对称轴上, BC=BC,BC=BC AC+BC=AC+BC=AB 在ABC中,AB AC+BC, AC+BC AC+BC, 即AC+BC最小,l,证明:如图.,问题1 归纳,问题2,(造桥选址问题)如图,A和B两地在同一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直.),思考: 你能把这个问题转化 为数学问题吗?,如图假定任选位置造桥MN,连接AM和BN,从A到B的路径是AM+MN+BN,那么折线AMNB在什么情况下最短呢?,分析:,a,b,由于河宽是固定的,因此当AM+NB最小时,AM+MN+NB最小.,分析:,如左图,如果将点A沿与河岸垂直的方向平移到点A,使AA等于河宽,则AA=MN,AM=AN,问题转化为:当点N在直线b的什么位置时,AN+NB最小?,参考右图,利用“两点之间,线段最短”可以解决.,如图,沿垂直于河岸的方向平移A到A,使AA等于河宽,连接AB交河岸于点N,在点N处造桥MN,此时路径AM+MN+BN最短.,a,b,解:,另任意造桥MN, 连接AM、BN、AN.,由平移性质可知, AMAN,AMAN, AAMNM N.,AM+MN+BNAA+AB, AM+MN+BNAA+AN+BN.,在ANB中,由线段公理知AN+BN AB,,AM +MN +BN AM+MN+BN.,证明:,a,b,问题2 归纳,小结归纳,转化,轴对称 变换,平移 变换,两点之间,线段最短.,如图,A为马厩,牧马人某一天要从马厩牵出马,先到草地边某一处牧马,再到河边饮马,然后回到马厩. 请你帮他确定这一天的最短路线.,课堂练习,已知:如图,在l1、l2之间有一点A.,求作:分别在l1、l2上确定一点M、N,使AM+MN+NA最小.,如图,作点A关于l1和l2的对称点A1、A2, 连接A1A2,交l1于M点,交l2于N点. 连接AM和AN,则AM+MN+NA最小. 因此,那天这样走路线最短.,课堂小结,教材复习题13 第15题.,课后作业,1.必做作业,你也许很喜欢台球,在玩台球过程中也用到数学知识. 如图,四边形ABCD是长方形的球桌台面,有两个球分别位于P、Q两点上,先找出P点关于BC的对称点P,连接PQ交BC于M点,则P处的球经BC反弹后,会击中Q处的球. 请回答:如果使P球先碰撞台边BC反弹碰撞台边AD后, 再击中Q球,该如何撞击呢?(画出图形),2.选做作业,谢谢!,
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