第 3 讲,点、直线、平面之间的位置关系,1理解空间直线、平面位置关系的定义,2了解四个公理及其推论，了解等角定理，并能以此作为,推理的依据,1 平面基本性质即三条公理的“图形语言”“文字语,言”“符号语言”列表,（续表）,公理 2 的三条推论：,推论 1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一,个平面；,推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面,l,A，B，C不共线 A，B，C确定 平面,P，P,公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行 等角定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那 么这两个角相等或互补,2空间线、面之间的位置关系,异面,无数个,没有,3异面直线所成的角 过空间任一点 O 分别作异面直线 a 与 b 的平行线 a与 b. 那么直线 a与 b所成的_，叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)，其范围是_,锐角或直角,(0，90,1(2013 年安徽蚌埠二模)l1，l2，l3 是空间三条不同的直线，,则下列命题正确的是(,),B,Al1l2，l2l3l1l3 Bl1l2，l2l3l1l3 Cl1l2l3l1，l2，l3 共面 Dl1，l2，l3 共点l1，l2，l3 共面,2若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是,),A,“这两条直线没有公共点”的( A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件,3在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，既与 AB 共面也与 CC1,共面的棱的条数为(,),C,A3 条,B4 条,C5 条,D6 条,解析：如图D35，用列举法知，符合要求的棱为：BC，CD， C1D1，BB1，AA1.故选 C. 图 D35,),D,4若 A，B，Al，Bl，Pl，则( AP BP Cl DP,考点 1,平面的基本性质,),例 1：若直线 l 不平行于平面，且 l，则( A内的所有直线与 l 异面 B内不存在与 l 平行的直线 C内存在唯一的直线与 l 平行 D内的直线与 l 都相交,解析：不妨设直线lM，过点M 的内的直线与l 不异 面，故A 错误；假设存在与 l 平行的直线 m，则由 ml，得l ，这与lM 矛盾，故B 正确；C显然错误；内存在与 l 异面的直线，故 D 错误故选 B.,答案：B,【规律方法】直线在平面内也叫平面经过直线，如果直线 不在平面内，记作l ，包括直线与平面相交及直线与平面平行 两种情形.反映平面基本性质的三个公理是研究空间图形和研 究点、线、面位置关系的基础，三个公理也是立体几何作图和 逻辑推理的依据.公理 1 是判断直线在平面内的依据；公理 2 的 作用是确定平面，这是把立体几何转化成平面几何的依据；公 理 3 是证明三(多)点共线或三线共点的依据.,【互动探究】,1下列推断中，错误的个数是(,),A,Al，A，Bl，Bl； A，B，C，A，B，C，且 A，B，C 不共线 ，重合； l ，AlA .,A1 个 C3 个,B2 个 D0 个,考点 2,空间内两直线的位置关系,例 2：如图 8-3-1，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M，N 分,),别是 BC1，CD1 的中点，则下列判断错误的是( 图 8-3-1,AMN 与 CC1 垂直 CMN 与 BD 平行,BMN 与 AC 垂直 DMN 与 A1B1 平行,答案：D,【规律方法】判断直线是否平行比较简单直观，可以利用 公理 4；判断直线是否异面则比较困难，掌握异面直线的两种 判断方法：反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条 直线平行或相交，再由假设的条件出发，经过严格的推理，导 出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面；在客观题中， 也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面 内不过该点的直线是异面直线.,【互动探究】 2如图 8-3-2 所示的是正方体和正四面体，P，Q，R，S 分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是_(填上所,有正确答案的序号),图 8-3-2,3如图 8-3-3，G，H，M，N 分别是正三棱柱的顶点或所 在 棱 的 中 点 ， 则 使 直 线 GH ， MN是异面直线的图形有 _(填上所有正确答案的序号),图 8-3-3,解析：图中，直线 GHMN；图中，G，H，N 三点在 三棱柱的侧面上，MG 与这个侧面相交于 G，M 平面GHN， 因此直线 GH 与 MN 异面；图中，连接 MG，GMHN，因 此GH 与MN 共面；图中，G，M，N 共面，但H 平面GMN， 因此 GH 与 MN 异面,答案：,图834,图835,图836 图837,答案：B,【规律方法】求异面直线所成角的基本方法就是平移，有时候平移两条直线，有时候只需要平移一条直线，只要得到两条相交直线，最后在三角形或四边形中解决问题；求异面直线所成角也可用空间向量代数形式来处理立体几何问题，淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法.,B,考点 4,三点共线、三线共点的证明,例 4：如图 8-3-6，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分 别是 AB 和 AA1 的中点求证： (1)E，C，D1，F 四点共面； (2)CE，D1F，DA 三线共点,图 8-3-6,证明：(1)如图837，连接EF，CD1，A1B. 图837 E，F分别是AB，AA1的中点， EFBA1. 又A1BD1C，EFCD1， E，C，D1，F四点共面,【规律方法】要证明M，N，K三点共线，由公理3知，只要证明M，N，K都在两个平面的交线上即可. 证明多点共线问题：可由两点连一条直线，再验证其他各点均在这条直线上；可直接验证这些点都在同一条特定的直线上相交两平面的唯一交线，关键是通过绘出图形，作出两个适当的平面或辅助平面，证明这些点是这两个平面的公共点.,【互动探究】 5在空间四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 上分别取,E，F，G，H 四点，若 EF 与 GH 交于点 M，则(,),A,A点 M 一定在 AC 上 B点 M 一定在 BD 上 C点 M 可能在 AC 上，也可能在 BD 上 D点 M 既不在 AC 上，也不在 BD 上 解析：点 M 在平面ABC 内，又在平面ADC 内，故必在交 线 AC 上,