,第41练 几何证明选讲,专题9 系列4选讲,题型分析高考展望,本讲主要考查相似三角形与射影定理，圆的切线及圆内接四边形的性质与判定定理，圆周角定理及弦切角定理，相交弦、切割线、割线定理等，本部分内容多数涉及圆，并且多是以圆为背景设计的综合性考题，考查逻辑推理能力试题主要以解答题形式出现，难易程度均为中低档题,常考题型精析,高考题型精练,题型一 相似三角形及射影定理,题型二 相交弦定理、割线定理、切割线定理、 切线长定理的应用,题型三 四点共圆的判定,常考题型精析,题型一 相似三角形及射影定理,例1 如图所示，CD垂直平分AB，点E在 CD上，DFAC，DGBE，F、G分别 为垂足求证：AFACBGBE.,证明 因为CD垂直平分AB， 所以ACD和BDE均为直角三角形，并且ADBD. 又因为DFAC，DGBE，所以AFACAD2，BGBEDB2， 因为AD2DB2，所以AFACBGBE.,点评 (1)在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式” (2)证题时，作垂线构造直角三角形是解该类问题的常用方法,变式训练1 如图，RtABC中， BAC90，ADBC于D，BE平分 ABC交AC于E，EFBC于F. 求证：EFDFBCAC.,证明 BAC90，且ADBC， 由射影定理得AC2CDBC，,EFBC，ADBC，EFAD，,又BE平分ABC，且EAAB，EFBC，,题型二 相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理的应用,例2 (2014重庆改编)过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点)，再作割线PBC依次交圆于B，C.若PA6，AC8，BC9，求AB的值,解 由切割线定理得PA2PBPCPB(PBBC)， 即62PB(PB9)， 解得PB3(负值舍去) 由弦切角定理知PABPCA，又APBCPA，,故APBCPA，,解得AB4.,点评 (1)圆中线段长度成比例的问题，要结合切割线定理、相交弦定理，构造比例关系 (2)利用相似关系求解线段长度要灵活地在三角形中对条件进行转化或等比替换,变式训练2 (2015天津改编)如图，在圆O 中，M，N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分 别经过点M，N.若CM2，MD4，CN 3，求线段NE的长,解 根据相交弦定理可知，,题型三 四点共圆的判定,例3 如图，已知ABC的两条角平分线 AD和CE相交于H，B60，F在AC 上，且AEAF.证明：,(1)B、D、H、E四点共圆；,证明 在ABC中，因为B60， 所以BACBCA120. 因为AD、CE分别是BAC、DCF的平分线，,所以HACHCA60，故AHC120. 于是EHDAHC120. 所以EBDEHD180， 所以B、D、H、E四点共圆,(2)CE平分DEF.,证明 连结BH，则BH为ABC的平分线， 得HBD30. 由(1)知B、D、H、E四点共圆， 所以CEDHBD30.又AHEEBD60， 由已知可得EFAD，可得CEF30. 所以CE平分DEF.,点评 (1)如果四点与一定点距离相等，那么这四点共圆； (2)如果四边表的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆； (3)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆,变式训练3 (2015湖南)如图，在O中， 相交于点E的两弦AB，CD的中点分别 是M，N，直线MO与直线CD相交于点F， 证明：,(1)MENNOM180；,证明 如图所示， 因为M，N分别是弦AB，CD的中点， 所以OMAB，ONCD，,即OME90，ENO90， 因此OMEENO180， 又四边形的内角和等于360， 故MENNOM180.,(2) FEFNFMFO.,证明 由(1)知，O，M，E，N四点共圆， 故由割线定理即得FEFNFMFO.,高考题型精练,1.(2015重庆改编)如图，圆O的弦AB，CD 相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延 长线交于点P，若PA6，AE9，PC 3，CEED21，求BE的长.,1,2,3,4,5,6,7,8,高考题型精练,因此CE6，ED3，再由相交弦定理得AEEBCEED，,1,2,3,4,5,6,7,8,2.(2015陕西)如图，AB切O于点B， 直线AO 交O于D，E两点，BCDE， 垂足为C.,B,高考题型精练,(1)证明：CBDDBA；,1,2,3,4,5,6,7,8,证明 因为DE为O直径， 则BEDEDB90，,又BCDE，所以CBDEDB90， 从而CBDBED， 又AB切O于点B，得DBABED， 所以CBDDBA.,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,高考题型精练,解 由(1)知BD平分CBA，,1,2,3,4,5,6,7,8,故DEAEAD3，即O直径为3.,3.如图，O的半径OB垂直于直径AC，M为 AO上一点，BM的延长线交O于N，过N点 的切线交CA的延长线于P. (1)求证：PM2PAPC；,高考题型精练,证明 连结ON，则ONPN，且OBN为 等腰三角形，则OBNONB，,1,2,3,4,5,6,7,8,PMNOMB90OBN， PNM90ONB， PMNPNM， PMPN. 根据切割线定理，有PN2PAPC，PM2PAPC.,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,高考题型精练,解 OM2，在RtBOM中，,1,2,3,4,5,6,7,8,延长BO交O于点D，连结DN.,MNBNBM642.,4.(2015课标全国)如图，O为等腰三角 形ABC内一点，O与ABC的底边BC交于 M、N两点，与底边上的高AD交于点G，且 与AB、AC分别相切于E、F两点. (1)证明：EFBC；,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,证明 由于ABC是等腰三角形， ADBC，所以AD是CAB的平分线.,又因为O分别与AB，AC相切于点E，F， 所以AEAF， 故ADEF. 从而EFBC.,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,解 由(1)知，AEAF，ADEF，故AD是EF的垂直平分线，又EF为O的弦，所以O在AD上. 连接OE，OM，则OEAE. 由AG等于O的半径得AO2OE，所以OAE30. 因此ABC和AEF都是等边三角形.,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,5.(2014课标全国)如图，四边形ABCD是O 的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交 于点E，且CBCE. (1)证明：DE；,高考题型精练,证明 由题设知，A，B，C，D四点共圆， 所以DCBE，由已知CBCE得CBEE， 故DE.,1,2,3,4,5,6,7,8,高考题型精练,(2)设AD不是O的直径，AD的中点为M，且MBMC，证明：ADE为等边三角形.,1,2,3,4,5,6,7,8,证明 如图，设BC的中点为N，连结MN， 则由MBMC知MNBC， 故O在直线MN上. 又AD不是O的直径，M为AD的中点， 故OMAD，,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,即MNAD.所以ADBC，故ACBE. 又CBEE，故AE， 由(1)知，DE，所以ADE为等边三角形.,6.如图所示，已知AP是O的切线，P为切 点，AC是O的割线，与O交于B、C两 点，圆心O在PAC的内部，点M是BC的 中点. (1)证明：A，P，O，M四点共圆；,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,证明 连结OP，OM，因为AP与O相切于点P， 所以OPAP，,因为M是O的弦BC的中点，所以OMBC， 于是OPAOMA180. 由圆心O在PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆.,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,(2)求OAMAPM的大小.,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,解 由(1)得，A，P，O，M四点共圆， 所以OAMOPM， 由(1)得OPAP，由圆心O在PAC的内部， 可知OPMAPM90， 所以OAMAPM90.,7.(2014辽宁)如图，EP交圆于E，C两点， PD切圆于D，G为CE上一点且PGPD， 连结DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP， 垂足为F. (1)求证：AB为圆的直径；,高考题型精练,证明 因为PDPG，所以PDGPGD. 由于PD为切线，故PDADBA.,1,2,3,4,5,6,7,8,又由于PGDEGA，故DBAEGA， 所以DBABADEGABAD， 从而BDAPFA. 由于AFEP，所以PFA90，于是BDA90， 故AB是直径.,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,(2)若ACBD，求证：ABED.,高考题型精练,证明 连结BC，DC. 由于AB是直径，故BDAACB90. 在RtBDA与RtACB中，ABBA，ACBD， 从而RtBDARtACB. 于是DABCBA.,1,2,3,4,5,6,7,8,高考题型精练,又因为DCBDAB，所以DCBCBA， 故DCAB. 由于ABEP，所以DCEP，DCE为直角. 于是ED为直径.由(1)得EDAB.,1,2,3,4,5,6,7,8,8.如图所示，过圆O外一点M作它的一条切 线，切点为A，过A点作直线AP垂直于直 线OM，垂足为P. (1)证明：OMOPOA2；,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,证明 因为MA是圆O的切线，所以OAAM. 又因为APOM，在RtOAM中，由射影定理知，OA2OMOP.,高考题型精练,(2)N为线段AP上一点，直线NB垂直于直线ON，且交圆O于B点.过B点的切线交直线ON于K.证明：OKM90.,1,2,3,4,5,6,7,8,证明 因为BK是圆O的切线，BNOK，同(1)， 有OB2ONOK， 又OBOA，所以OPOMONOK，,又NOPMOK，所以ONPOMK， 故OKMOPN90.,