9.5 椭 圆,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.椭圆的概念 平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做 .这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 . 集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数： (1)若 ，则集合P为椭圆； (2)若 ，则集合P为线段； (3)若 ，则集合P为空集.,知识梳理,椭圆,焦点,焦距,ac,ac,ac,2.椭圆的标准方程和几何性质,2a,2b,2c,a2b2c2,点P(x0，y0)和椭圆的关系 (1)点P(x0，y0)在椭圆内 (2)点P(x0，y0)在椭圆上 (3)点P(x0，y0)在椭圆外,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆. ( ) (2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成PF1F2的周长为2a2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距).( ) (3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.( ) (4)方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆.( ),1.(教材改编)椭圆 的焦距为4，则m等于 A.4 B.8 C.4或8 D.12,考点自测,答案,解析,解得m4或m8.,2.(2015广东)已知椭圆 的左焦点为F1(4,0)，则m等于 A.2 B.3 C.4 D.9,答案,解析,由题意知25m216，解得m29，又m0，所以m3.,3.(2016全国乙卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的 ，则该椭圆的离心率为,答案,解析,4.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于 ，则C的方程是,答案,解析,5.(教材改编)已知点P是椭圆 1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为 _.,答案,解析,设P(x，y)，由题意知c2a2b2541， 所以c1，则F1(1,0)，F2(1,0)，由题意可得点P到x轴的距离为1，,题型分类 深度剖析,例1 (2016济南模拟)如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是 A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆,题型一 椭圆的定义及标准方程,命题点1 利用定义求轨迹,答案,解析,几何画板展示,由条件知|PM|PF|. |PO|PF|PO|PM|OM|R|OF|. P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆.,命题点2 利用待定系数法求椭圆方程,例2 (1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且 过点P(3,0)，则椭圆的方程为_.,答案,解析,答案,解析,设椭圆方程为mx2ny21(m0，n0且mn). 椭圆经过点P1，P2，点P1，P2的坐标适合椭圆方程.,命题点3 利用定义解决“焦点三角形”问题,答案,解析,3,设|PF1|r1，|PF2|r2，,4a24c24b2， 又 r1r2 b29，b3.,引申探究,1.在例3中增加条件“PF1F2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程.,由原题得b2a2c29， 又2a2c18， 所以ac1，解得a5，,解答,解答,|PF1|PF2|2a，又F1PF260， 所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60|F1F2|2， 即(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|4c2， 所以3|PF1|PF2|4a24c24b2，,所以b3.,思维升华,(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a|F1F2|这一条件. (2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组.如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2ny21(m0，n0，mn)的形式. (3)当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1|PF2|；通过整体代入可求其面积等.,跟踪训练1 (1)已知两圆C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为,答案,解析,几何画板展示,设圆M的半径为r， 则|MC1|MC2|(13r)(3r)168|C1C2|， 所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆， 且 2a16,2c8，,答案,解析,PF1PF2，F1PF290. 设|PF1|m，|PF2|n， 则mn4，m2n212,2mn4，,例4 (1)已知点F1，F2是椭圆x22y22的左，右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么 的最小值是,题型二 椭圆的几何性质,A.0 B.1 C.2 D.2,答案,解析,(2)(2016全国丙卷)已知O为坐标原点，F是椭圆C： (ab0)的左焦点，A，B分别为椭圆C的左，右顶点.P为C上一点，且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为,答案,解析,(1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧 注意椭圆几何性质中的不等关系 在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围，离心率的范围等不等关系. 利用椭圆几何性质的技巧 求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系. (2)求椭圆的离心率问题的一般思路 求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，利用a2b2c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围.,思维升华,答案,解析,解得B，C两点坐标为,又因为b2a2c2.,题型三 直线与椭圆,解答,又a2c2b23，所以c21，因此a24.,(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BFHF，且MOAMAO，求直线l的斜率.,解答,设直线l的斜率为k(k0)， 则直线l的方程为yk(x2).,消去y，整理得(4k23)x216k2x16k2120.,由(1)知，F(1,0)，设H(0，yH)，,在MAO中，MOAMAO|MA|MO|，,思维升华,(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单.,提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.,解答,则4x25y280与yx4联立，,解答,(2)如果BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式.,椭圆右焦点F的坐标为(2,0)， 设线段MN的中点为Q(x0，y0)， 由三角形重心的性质知,又B(0,4)，(2，4)2(x02，y0)， 故得x03，y02， 即Q的坐标为(3，2). 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x1x26，y1y24，,即6x5y280.,高考中求椭圆的离心率问题,高频小考点8,离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法.,考点分析,典例1 (2015福建)已知椭圆E： (ab0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x4y0交椭圆E于A，B两点.若|AF|BF|4，点M到直线l的距离不小于 ，则椭圆E的离心率的取值范围是,答案,解析,左焦点F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形. |AF|BF|4， |AF|AF0|4， a2.,典例2 ( 12分) (2016浙江)如图，设椭圆 y21(a1). (1)求直线ykx1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；,解答,设直线ykx1被椭圆截得的线段为AM，,(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.,解答,假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|AQ|. 记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2， 且k10，k20，k1k2. 5分,因为式关于k1，k2的方程有解的充要条件是1a2(a22)1，所以a .,因此，任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a ， 10分,课时作业,A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,2m6且m4.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,当94k0，即4k5时， a3，c29(4k)5k，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,c2k5，,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,联立直线与椭圆的方程，消去y得(2k2m)x24kx22m0， 因为直线与椭圆恒有公共点， 所以16k24(2k2m)(22m)0，即2k2m10恒成立， 因为kR，所以k20，则m10，所以m1， 又m2，所以实数m的取值范围是1,2)(2，).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施.如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道和的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道和的长轴长，给出下列式子： a1c1a2c2；a1c1a2c2； ；c1a2a1c2. 其中正确式子的序号是 A. B. C. D.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,观察图形可知a1c1a2c2，即式不正确；