专题3 函数与导数,第7练 抓重点函数性质与分段函数,题型分析高考展望,函数单调性、奇偶性、周期性是高考必考内容，以分段函数为载体是常考题型.主要以选择题或填空题的形式考查，难度为中档偏上.二轮复习中，应该重点训练函数性质的综合应用能力，收集函数应用的不同题型，分析比较异同点，排查与其他知识的交汇点，找到此类问题的解决策略，通过训练提高解题能力.,常考题型精析,高考题型精练,题型一 函数单调性、奇偶性的应用,题型二 函数的周期性与对称性的应用,题型三 分段函数,常考题型精析,题型一 函数单调性、奇偶性的应用,2.若f(x)和g(x)都是增函数，则f(x)g(x)也是增函数，f(x)是减函数，复合函数的单调性根据内函数和外函数同增异减的法则判断. 3.定义域不关于原点对称的函数一定是非奇非偶函数. 4.奇偶性相同的两函数的积为偶函数，奇偶性相反的两函数的积为奇函数.,例1 (1)(2014湖北)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x) (|xa2|x2a2|3a2).若xR，f(x1)f(x)，则实数a的取值范围为( ),解析 因为当x0时，f(x) (|xa2|x2a2|3a2)，,所以当0xa2时，f(x) (a2x2a2x3a2)x；,当a2x2a2时，f(x) (xa22a2x3a2)a2；,当x2a2时，f(x) (xa2x2a23a2)x3a2.,因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f(x)在R上的大致图象如图，,观察图象可知，要使xR，f(x1)f(x)，则需满足2a2(4a2)1，,答案 B,(2)(2014课标全国)已知偶函数f(x)在0，)上单调递减，f(2)0.若f(x1)0，则x的取值范围是_. 解析 f(x)是偶函数， 图象关于y轴对称. 又f(2)0，且f(x)在0，)单调递减， 则f(x)的大致图象如图所示，,由f(x1)0，得2x12，即1x3.,(1,3),点评 (1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上，这是简化问题的一种途径.尤其注意偶函数f(x)的性质：f(|x|)f(x). (2)单调性：可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性.,变式训练1 (1)(2015天津)已知定义在R上的函数f(x)2|xm|1(m为实数)为偶函数，记af(log0.53)，bf(log25)，cf(2m)，则a，b，c的大小关系为( ) A.abc B.cab C.acb D.cba 解析 由函数f(x)2|xm|1为偶函数，得m0， f(x)2|x|1，当x0时，f(x)为增函数，log0.53log23， log25|log23|0，,bf(log25)af(log0.53)cf(2m)f(0)， 故选B. 答案 B,(2)(2015北京)下列函数中为偶函数的是( ) A.yx2sin x B.yx2cos x C.y|ln x| D.y2x 解析 由f(x)f(x)，且定义域关于原点对称，可知A为奇函数， B为偶函数， C定义域不关于原点对称， D为非奇非偶函数.,B,题型二 函数的周期性与对称性的应用,重要结论：1.若对于定义域内的任意x，都有f(ax)f(ax)，则f(x)关于xa对称. 2.若对于任意x都有f(xT)f(x)，则f(x)的周期为T.,例2 (1)已知函数f(x)是(，)上的奇函数，且f(x)的图象关于直线x1对称，当x1,0)时，f(x)x，则f(2 015)f(2 016)_. 解析 由f(x)是(，)上的奇函数且f(x)的图象关于直线x1对称，知f(x)的周期为4， f(2 015)f(3)f(1)1， f(2 016)f(4)f(0)0. f(2 015)f(2 016)101.,1,(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x).当3x1时，f(x)(x2)2；当1x3时，f(x)x，则f(1)f(2)f(3)f(2 016)_. 解析 由f(x6)f(x)可知，函数f(x)的一个周期为6， 所以f(3)f(3)1，f(2)f(4)0，f(1)f(5)1，f(0)f(6)0，f(1)1，f(2)2，,所以在一个周期内有f(1)f(2)f(6)1210101， 所以f(1)f(2)f(2 016)f(1)f(2)f(6)336336. 答案 336,点评 利用函数的周期性、对称性可以转化函数解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解.,变式训练2 已知定义在R上的偶函数满足：f(x4)f(x)f(2)，且当x0,2时，yf(x)单调递减，给出以下四个命题： f(2)0；x4为函数yf(x)图象的一条对称轴；函数yf(x)在8,10上单调递增；若方程f(x)m在6， 2上的两根为x1，x2，则x1x28. 则所有正确命题的序号为_.,解析 令x2，得f(2)f(2)f(2)，f(2)0，又函数f(x)是偶函数，故f(2)0，正确； 根据可得f(x4)f(x)，可得函数f(x)的周期是4， 由于偶函数的图象关于y轴对称，故x4也是函数yf(x)图象的一条对称轴，正确； 根据函数的周期性可知，函数f(x)在8,10上单调递减，不正确； 由于函数f(x)的图象关于直线x4对称，,故如果方程f(x)m在区间6，2上的两根为x1，x2，则 4，即x1x28，正确. 故正确命题的序号为. 答案 ,题型三 分段函数,(1)求实数m的值；,解 函数f(x)是奇函数，f(x)f(x). 当x0时，x0，有(x)2mx(x22x)， 即x2mxx22x. m2.,(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围.,当x0时，f(x)x22x(x1)21， 当x1，)时，f(x)单调递减； 当x(0,1时，f(x)单调递增. 当x0时，f(x)x22x(x1)21， 当x(，1时，f(x)单调递减； 当x1,0)时，f(x)单调递增. 综上知：函数f(x)在1,1上单调递增.,又函数f(x)在区间1，a2上单调递增.,故实数a的取值范围是(1,3.,点评 (1)分段函数是一个函数在其定义域的不同子集上，因对应关系的不同而分别用几个不同的式子来表示的.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数. (2)在求分段函数f(x)解析式时，一定要首先判断x属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式.,变式训练3 (2014浙江)设函数f(x) 若f(f(a)2，则实数a的取值范围是_.,解析 f(x)的图象如图，由图象知，满足f(f(a)2时，得f(a)2，而满足f(a)2时，得a .,高考题型精练,1.(2015安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A.yln x B.yx21 C.ysin x D.ycos x,解析 对数函数yln x是非奇非偶函数； yx21为偶函数但没有零点； ysin x是奇函数； ycos x是偶函数且有零点，故选D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,D,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,C,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,答案 C,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析 由题意得f(1)2(1)2，ff(1)f(2)a224a1，,答案 A,5.下列函数f(x)中，满足“x1，x2(0，)，且x1x2，(x1x2)f(x1)f(x2)0”的是( ) A.f(x) x B.f(x)x3 C.f(x)ln x D.f(x)2x,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析 “x1，x2(0，)，且x1x2，(x1x2)f(x1)f(x2)0”等价于在(0，)上f(x)为减函数，易判断f(x) x符合.,A,6.函数yf(x1)的图象关于直线x1对称，当x(，0)时，f(x)xf(x)bc B.bac C.cab D.acb,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析 因为函数yf(x1)的图象关于直线x1对称，所以yf(x)关于y轴对称. 所以函数yxf(x)为奇函数. 因为xf(x)f(x)xf(x)， 所以当x(，0)时，xf(x)f(x)xf(x)0， 函数yxf(x)单调递减， 从而当x(0，)时，函数yxf(x)单调递减.,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,所以bac. 答案 B,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析 由x2； 由xg(x)得xx22， 1x2.,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,当x2；当x2时，f(x)8. 当x(，1)(2，)时，函数的值域为(2，).,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,答案 D,8.对实数a和b，定义运算“”：ab 设函数f(x)(x22)(xx2)，xR.若函数yf(x)c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是( ),高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,f(x)的图象如图所示，由图象可知B正确.,答案 B,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析 f(x)是以4为周期的奇函数，,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,当0x1时，f(x)x(1x)，,当1x2时，f(x)sin x，,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,又f(x)是奇函数，,10.对于任意实数a，b，定义mina，b 设函数f(x)x3，g(x)log2x，则函数h(x)minf(x)，g(x)的最大值是_.,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,当02时，h(x)3x是减函数， h(x)在x