8.4直线、平面垂直的判定和性质挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点垂直的判定和性质1.理解直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理.2.理解直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质定理,并能够证明.3.理解直线与平面所成的角、二面角的概念.4.能够证明空间垂直位置关系的简单命题.2018浙江,19线面垂直的判定和性质、直线与平面所成的角解三角形求正弦值2017浙江,19直线与平面所成的角直线与平面平行的判定与性质2016浙江,5,18,文18线面垂直、面面垂直的判定和性质、直线与平面所成的角、二面角解三角形求余弦值2015浙江,17,文18线面垂直的判定和性质、直线与平面所成的角、二面角解三角形求正弦值、余弦值2014浙江文,20线面垂直的判定和性质、直线与平面所成的角解三角形求角和正切值分析解读1.直线与平面垂直,平面与平面垂直的判定和性质,线面间的角与距离的计算是高考的重点,特别是以多面体为载体的线面位置关系的论证,更是高考的热点,试题以中等难度为主.2.高考常考的题型有:判断并证明两个平面的垂直关系,直线与平面的垂直关系,直线与直线的垂直关系.线面、面面垂直的性质定理的应用,求直线与平面、平面与平面所成角等综合问题.多以棱柱、棱锥为背景.3.预计2020年高考试题中,垂直关系仍然是考查的重点和热点.考查仍会集中在垂直关系的判定和垂直的性质的应用上,其解决的方法主要是传统法和向量法,复习时应高度重视.破考点【考点集训】考点垂直的判定和性质1.(2017浙江名校(诸暨中学)交流卷四,3)设a,b,c是三条不同的直线,是两个不同的平面,则使ab成立的一个充分条件是( ) A.ac,bc B.,a,bC.a,b D.a,b答案D2.(2018浙江诸暨高三上学期期末,19,15分)如图,在空间几何体中,四边形ABCD是边长为2的正方形,ABEF,AF=EF=BE=1,DF=5.(1)求证:BF平面ADF;(2)求直线BF与平面DCEF所成角的正弦值.解析(1)证明:在等腰梯形ABEF中,AB=2,EF=AF=BE=1FAB=,(1分)故BF=3,则BF2+AF2=AB2,可得AFBF.(3分)在DFB中,由BF2+DF2=BD2,可得BFDF.(5分)因为AFDF=F,所以BF平面ADF.(7分)(2)作FOAB交AB于O,如图,以O为原点,OF,OB,OG所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系O-xyz,(9分)则F32,0,0,B0,32,0,E32,1,0,C0,32,2,FE=(0,1,0),CE=32,-12,-2,设平面DCEF的法向量为n=(x,y,z),由nFE=0,nCE=0,可取n=2,0,32,(12分)设直线BF与平面DCEF所成角为,又BF=32,-32,0,所以sin =|cos|=|BFn|BF|n|=21919,即直线BF与平面DCEF所成角的正弦值为21919.(15分)3.(2016课标全国,18,12分)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,AFD=90,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60.(1)证明:平面ABEF平面EFDC;(2)求二面角E-BC-A的余弦值.解析(1)证明:由已知可得AFDF,AFFE,AFEF=F,所以AF平面EFDC.(2分)又AF平面ABEF,故平面ABEF平面EFDC.(3分)(2)过D作DGEF,垂足为G,由(1)知DG平面ABEF.以G为坐标原点,GF的方向为x轴正方向,|GF|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.(6分)由(1)知DFE为二面角D-AF-E的平面角,故DFE=60,则|DF|=2,|DG|=3,可得A(1,4,0),B(-3,4,0),E(-3,0,0),D(0,0,3).由已知得,ABEF,所以AB平面EFDC.(8分)又平面ABCD平面EFDC=CD,故ABCD,CDEF.由BEAF,可得BE平面EFDC,所以CEF为二面角C-BE-F的平面角,CEF=60.从而可得C(-2,0,3),所以EC=(1,0,3),EB=(0,4,0),AC=(-3,-4,3),AB=(-4,0,0).(10分)设n=(x,y,z)是平面BCE的法向量,则nEC=0,nEB=0,即x+3z=0,4y=0,所以可取n=(3,0,-3).设m是平面ABC的法向量,则mAC=0,mAB=0,同理可取m=(0,3,4).则cos=nm|n|m|=-21919.故二面角E-BC-A的余弦值为-21919.(12分)评析本题考查了立体几何部分有关垂直的证明,以及二面角的求解和利用空间向量求解立体几何问题.解决立体几何问题时要注意“发现”垂线所在的位置.炼技法【方法集训】方法1线面垂直判定的方法1.(2018浙江稽阳联谊学校高三联考(4月),19,15分)如图,四边形ABEF是正方形,ABCD,AD=AB=BC=CD.(1)若平面ABEF平面ABCD,求证:DB平面EBC;(2)若DFBC,求直线BD与平面ADF所成角的正弦值.解析(1)证明:四边形ABEF是正方形,EBAB,又平面ABEF平面ABCD,且平面ABEF平面ABCD=AB,EB平面ABCD,EBBD,(2分)AD=AB=BC=CD,不妨设AD=AB=BC=1,DC=2,则BD=3,BDBC.(4分)EBBC=B,DB平面EBC.(6分)(2)解法一:如图,过点F作FH平面ABCD,垂足为H,连接AH并延长,交CD于点G.过点H作HIAD交AD于点I,连接FI,作HOFI交FI于点O,FH平面ABCD,FHBC,DFBC,BC平面FDH,BCDH,即点H在BD上,(9分)FHAD,HIAD,FHHI=H,AD平面FIH,ADHO,HOFI,FIAD=I,HO平面AFD,点H到平面AFD的距离为HO,(11分)由已知可得DG=,HG=HI=36,HO=69,而BD=3DH,点B到平面AFD的距离为63.(13分)设直线BD与平面AFD所成的角为,则sin =23.(15分)解法二:以A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设AD=AB=BC=DC=1,则A(0,0,0),B(0,1,0),C32,32,0,D32,-12,0.(8分)设F(x,y,z),由题意可得FA=1,FB=2,DFBC=0,将坐标代入得x2+y2+z2=1,x2+(y-1)2+z2=2,x-32,y+12,z32,12,0=0,解得x=33,y=0,z=63,即F33,0,63,(11分)设平面AFD的法向量为n=(a,b,c),则ADn=0,AFn=0,即32a-12b=0,33a+63c=0,令a=2,则b=6,c=-1,即n=(2,6,-1),(13分)设直线BD与平面AFD所成的角为,易知BD=32,-32,0,故sin =|cos|=|BDn|BD|n|=23,直线BD与平面ADF所成角的正弦值为23.(15分)2.(2018浙江萧山九中12月月考,19)如图,在三棱柱ABC-DFE中,点P,G分别是AD,EF的中点,已知AD平面ABC,AD=EF=3,DE=DF=2.(1)求证:DG平面BCEF;(2)求PE与平面BCEF所成角的正弦值.解析(1)证明:由题意知,AD平面DEF,ADDG,BFDG,(2分)DE=DF,G是EF的中点,EFDG,(4分)又BFEF=F,DG平面BCEF.(7分)(2)取BC的中点H,连接HG,取HG的中点O,连接OP,OE,易知PODG,所以PO平面BCEF,所以OEP是PE与平面BCEF所成的角,(10分)由已知得,PE=,OP=72,所以sinOEP=OPPE=75,(14分)故PE与平面BCEF所成角的正弦值为75.(15分)方法2面面垂直判定的方法1.( 2018浙江杭州第二次高考教学质量检测(4月),19)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,A=120,M为线段BC的中点,D为线段BC上一点,且BD=BA,沿直线AD将ADC翻折至ADC,使ACBD.(1)证明:平面AMC平面ABD;(2)求直线CD与平面ABD所成的角的正弦值.解析(1)证明:由题意知AMBD,又ACBD,所以BD平面AMC,因为BD平面ABD,所以平面AMC平面ABD.(7分)(2)在平面ACM中,过C作CFAM交AM于点F,连接FD.由(1)知,CF平面ABD,所以CDF为直线CD与平面ABD所成的角.设AM=1,则AB=AC=2,BM=3,MD=2-3,DC=DC=23-2,AD=6-2.在RtCMD中,MC2=CD2-MD2=(23-2)2-(2-3)2=9-43.设AF=x,在RtCFA中,AC2-AF2=MC2-MF2,即4-x2=(9-43)-(1-x)2,解得x=23-2,即AF=23-2.所以CF=223-3.故直线CD与平面ABD所成的角的正弦值等于CFAF=23-33-1.(15分)2.(2017浙江名校(绍兴一中)交流卷一,19)如图,三棱锥P-ABC中,PC平面ABC,AB=PC=2,AC=4,PBC=,点E在BC上,且BE=EC.(1)求证:平面PAB平面PBC;(2)求AE与平面PAB所成角的正弦值.解析(1)证明:因为PC平面ABC,所以PCAB,PCBC.(2分)又因为在三角形PBC中,PC=2,PBC=,所以BC=23,(4分)而AB=2,AC=4,所以AC2=AB2+BC2,所以ABBC.(6分)又ABPC,PCBC=C,所以AB平面PBC,又AB平面PAB,所以平面PAB平面PBC.(8分)(2)设AE与平面PAB所成的角为.因为BE=EC,所以点E到平面PAB的距离dE=dC(dC表示点C到平面PAB的距离).(11分)过C作CFPB于点F,由(1)知CF平面PAB,易得dC=CF=3,所以dE=dE=33.(13分)又AE=AB2+BE2=433,所以sin =dEAE=.(15分)过专题【五年高考】A组自主命题浙江卷题组考点垂直的判定和性质1.(2014浙江文,6,5分)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面()A.若mn,n,则mB.若m,则mC.若m,n,n,则mD.若mn,n,则m答案C2.(2016浙江文,18,15分)如图,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFE平面ABC,ACB=90,BE=EF=FC