第十一节 导数在研究函数中的应用 第一课时 利用导数研究函数的单调性,【知识梳理】 函数的单调性与导数的关系 函数y=f(x)在某个区间内可导: (1)若f(x)0,则f(x)在这个区间内_; (2)若f(x)0,则f(x)在这个区间内_; (3)若f(x)=0,则f(x)在这个区间内是_.,单调递增,单调递减,常数函数,【特别提醒】 导数与函数单调性的关系 (1)f(x)0(或f(x)0)是f(x)在(a,b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件. (2)f(x)0(或f(x)0)是f(x)在(a,b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件(f(x)=0不恒成立).,【小题快练】 链接教材 练一练 1.(选修2-2P24例1改编)如图所示是函数f(x)的导函数f(x)的图象,则下列判断中正确的是 ( ),A.函数f(x)在区间(-3,0)上是减函数 B.函数f(x)在区间(-3,2)上是减函数 C.函数f(x)在区间(0,2)上是减函数 D.函数f(x)在区间(-3,2)上是单调函数 【解析】选A.当x(-3,0)时,f(x)0,则f(x)在 (-3,0)上是减函数.其他判断均不正确.,2.(选修2-2P26练习T1(2)改编)函数 的单 调递减区间为( ) A.(-1,1 B.(0,1 C.1，+) D.(0，+) 【解析】选B.由题意知函数的定义域为(0，+)， 又由y= 0，解得0x1， 所以函数的单调递减区间为(0,1.,感悟考题 试一试 3.(2016内江模拟)函数f(x)= (a0)的单调递增区间是( ) A.(-，-1) B.(-1,1) C.(1，+) D.(-，-1)或(1，+),【解析】选B.函数f(x)的定义域为R，f(x)= = 由于a0，要使f(x)0， 只需(1-x)(1+x)0，解得x(-1,1).,4.(2016广州模拟)已知函数y=xf(x)的图象如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数).则下面四个图象中,y=f(x)的图象大致是 ( ),【解析】选C.由条件可知当01时,xf(x)0, 所以f(x)0,函数递增,所以当x=1时,函数取得 极小值. 当x0,函数递增, 当-10,所以f(x)0,函数递减, 所以当x=-1时,函数取得极大值.符合条件的只有C项.,5.(2016合肥模拟)若函数f(x)=mx2+lnx-2x在定义域内是增函数,则实数m的取值范围是 .,【解析】f(x)= 函数f(x)在其定义域(0， +)内为增函数的充要条件是 0在(0，+) 内恒成立，即2m 在(0，+)内恒成立，由于函 数(x)= 故只要2m1即可，即 答案：,考向一 利用导数判断或证明函数的单调性 【典例1】(1)(2015湖南高考)设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是 ( ) A.奇函数,且在(0,1)上是增函数 B.奇函数,且在(0,1)上是减函数 C.偶函数,且在(0,1)上是增函数 D.偶函数,且在(0,1)上是减函数,(2)(2015全国卷改编)设函数f(x)=emx+x2-mx(xR),讨论f(x)的单调性.,【解题导引】(1)利用函数奇偶性的定义判断奇偶性,利用导数确定函数的单调性. (2)先对函数f(x)求导,然后分m0,m0两种情况进行讨论.,【规范解答】(1)选A显然，f(x)的定义域为(-1，1), 关于原点对称， 又因为f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x)， 所以f(x)为奇函数.因为f(x)= 在 (0,1)上f(x)0，所以f(x)在(0,1)上是增函数,(2)因为f(x)=m(emx-1)+2x. 若m0,则当x(-,0)时,emx-10,f(x)0. 若m0,f(x)0. 综上所述f(x)在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增.,【规律方法】导数法判断(证明)函数f(x)在(a,b)内的单调性的步骤 (1)求f(x). (2)确认f(x)在(a,b)内的符号. (3)得出结论:f(x)0时为增函数;f(x)0时为减函数.,易错提醒:研究含参数函数的单调性时,需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.,【变式训练】(2015重庆高考)已知函数f(x)=ax3+x2 (aR)在x= 处取得极值. (1)确定a的值. (2)若g(x)=f(x)ex,讨论g(x)的单调性.,【解析】(1)对f(x)求导得f(x)=3ax2+2x. 因为f(x)在 处取得极值， 所以 解得 经检验满足题意.,(2)由(1)知g(x)= 所以 g(x)= 令g(x)=0,解得x=0,x=-1或x=-4. 当x-4时，g(x)0,故g(x)为减函数；,当-40,故g(x)为增函数； 当-10时，g(x)0,故g(x)为增函数； 综上知，g(x)在(-,-4)和(-1,0)内为减函数， 在(-4,-1)和(0,+)内为增函数.,【加固训练】(2015四川高考改编题)已知函数f(x)=-2xlnx+x2-2ax+a2,其中a0.设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性.,【解析】由已知，函数的定义域为(0,+)， 所以g(x)=f(x)=2(x-1-ln x-a) 所以g(x)= 当x(0,1)时，g(x)0,g(x)单调递增.,考向二 利用导数求函数的单调区间 【典例2】(1)已知函数f(x)=ax+ln x，则当a0时，f(x)的单调递增区间是_，单调递减区间是_,(2)已知函数f(x)= 其中aR，且曲线 y=f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线 求函数f(x)的单调区间,【解题导引】(1)求f(x)的单调区间只需令f(x)0或 f(x)0求出x的范围. (2)先利用曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线垂直于直 线 求出a的值，然后再求出单调区间.,【规范解答】(1)由已知得f(x)的定义域为(0，+). 因为f(x)= 所以当x 时f(x)0， 当00， 所以f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为 答案：,(2)对f(x)求导得f(x)= 由f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线 知f(1)= =-2，解得 所以f(x)= 则f(x)= 令f(x)=0，解得x=-1或x=5， 因x=-1不在f(x)的定义域(0，+)内，故舍去,当x(0,5)时，f(x)0，故f(x)在(5，+)内为增函数 所以f(x)的单调递增区间为(5,+),单调递减区间为(0，5).,【易错警示】解答典例2(2)会出现以下错误:令f(x)=0,解得x=-1或x=5时,忽视函数的定义域而未舍去x=-1.,【规律方法】求函数的单调区间的“两种”方法 方法一:(1)确定函数y=f(x)的定义域. (2)求导数f(x). (3)解不等式f(x)0,解集在定义域内的部分为单调递增区间. (4)解不等式f(x)0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.,方法二:(1)确定函数y=f(x)的定义域. (2)求导数f(x),令f(x)=0,解此方程,求出在定义区间内的一切实根. (3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间.,(4)确定f(x)在各个区间内的符号,根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性.,【变式训练】(2016福州模拟)已知函数 f(x)=ln(ex+1)-ax(a0). (1)若函数y=f(x)的导函数是奇函数,求a的值. (2)求函数y=f(x)的单调区间.,【解析】(1)函数f(x)的定义域为R. 由已知得f(x)= 因为函数y=f(x)的导函数是奇函数， 所以f(-x)=-f(x)， 即 解得,(2)由(1)f(x)= 当a1时，f(x)0恒成立， 所以当a1，+)时，函数y=f(x)在R上单调递减 当0a1时，由f(x)0得(1-a)(ex+1)1， 即ex 解得,当0a1时，由f(x)0得(1-a)(ex+1)1， 即ex 解得 所以当a(0,1)时，函数y=f(x)在 上单调 递增，在 上单调递减,【加固训练】 1.(2016广州模拟)已知函数f(x)=(-x2+2x)ex,xR, e为自然对数的底数.则函数f(x)的单调递增区间为 .,【解析】因为f(x)=(-x2+2x)ex, 所以f(x)=(-2x+2)ex+(-x2+2x)ex=(-x2+2)ex. 令f(x)0,即(-x2+2)ex0, 因为ex0，所以-x2+20，解得 所以函数f(x)的单调递增区间是 答案：,2.已知函数f(x)= (1)求函数f(x)的单调区间. (2)若函数f(x)在(1，+)上单调递增，求a的取值范围,【解析】(1)函数f(x)= 的定义域为(0,+), f(x)= 当=1+4a0，即a 时，x2+x-a0恒成立， 即f(x)0恒成立, 所以函数f(x)在(0，+)上单调递增.,当=1+4a0，即 时， 令f(x)=0，得x2+x-a=0， 解得 ()若 a0，则 因为x(0，+)，所以f(x)0，所以函数f(x)在(0，+)上单调递增,()若a0，则x 时，f(x)0； x 时，f(x)0， 所以函数f(x)在区间 上单调递减，在区 间 上单调递增,综上所述，当a0时，函数f(x)的单调递增区间为 (0，+)； 当a0时，函数f(x)的单调递减区间为 单调递增区间为,(2)由题意知，f(x)0在(1，+)上恒成立， 即x2+x-a0在(1，+)上恒成立， 令g(x)= 则g(x)2-a，从而2-a0，所以a2. 当a=2时，f(x)0在(1，+)上恒成立， 因此实数a的取值范围是(-，2,3.(2015江苏高考改编)已知函数f(x)=x3+ax2+b (a,bR).求函数f(x)的单调区间.,【解析】f(x)=3x2+2ax= 令f(x)=0，得x=0或 当a0，得x0或 令f(x) 0，得 所以f(x)的单调递增区间是(-,0) 和 单调递减区间是,当a=0时，f(x)0恒成立，所以f(x)在R上单调递 增. 当a0时，令f(x)0,得 或x0; 令f(x)0，得 所以f(x)的单调递增区间 是 和(0,+)，单调递减区间是,综上所述，当a0时，f(x)的单调递增区间是 和(0,+)， 单调递减区间是,考向三 利用导数解决函数的单调性的应用问题 【考情快递】,【考题例析】 命题方向1：已知函数单调性求参数的取值范围 【典例3】(2014全国卷)若函数f(x)=kx-ln x在区间(1，+)上单调递增，则k的取值范围是( ) A.(-,-2 B.(-,-1 C.2,+) D.1,+),【解题导引】利用函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+)上单调递增等价于f(x)0在(1,+)恒成立求解.,【规范解答】选D.因为f(x)在(1,+)上单调递增， 所以f(x)0在(1，+)上恒成立， 因为f(x)=kx-ln x， 所以f(x)= 即 因为x1,所以