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第18讲 三角形与全等三角形,第五章 图形的性质(一),1三角形的边、角关系 三角形的任意两边之和_第三边;三角形的内角和等于_ 2三角形的分类 按角可分为_和_,按边可分为_和_,大于,180,直角三角形,斜三角形,不等边三角形,等腰三角形,3三角形的主要线段,重心 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心 4全等三角形的性质和判定 (1)性质:全等三角形对应边相等,对应角相等注意:全等三角形对应边上的高、中线相等;对应角的平分线相等;全等三角形的周长、面积也相等 (2)判定: _对应相等的两个三角形全等(SAS); _对应相等的两个三角形全等(ASA); _对应相等的两个三角形全等(AAS); _对应相等的两个三角形全等(SSS); _对应相等的两个直角三角形全等(HL),两边和夹角,两角和夹边,角和其中一角的对边,三边,斜边和一条直角边,1证明三角形全等的三种基本思路 (1)有两边对应相等时,找夹角相等或第三边对应相等; (2)有一边和一角对应相等时,找另一角相等或夹等角的另一边相等; (3)有两个角对应相等时,找一对边对应相等另外,在寻求全等条件时,要善于挖掘图形中公共边、公共角、对顶角等隐含条件 2证明几何题的四种思考方法 (1)顺推分析:从已知条件出发,运用相应的定理,分别或联合几个已知条件加以发展,一步一步地去靠近欲证目标; (2)逆推分析:从欲证结论入手,分析达到欲证的可能途径,逐步沟通它与已知条件的联系,从而找到证明方法; (3)顺推分析与逆推分析相结合; (4)联想分析:对于一道与证明过的题目有类似之处的新题目,分析它们之间的相同点与不同点,尝试把对前一道题的思考转用于现在的题目中,从而找到它的解法,D,C,C,C,5(2015丹东)如图,在ABC中,ABAC,A30,E为BC延长线上一点,ABC与ACE的平分线相交于点D,则D的度数为( ) A15 B17.5 C20 D22.5,A,A,7(2015朝阳)一个三角形的两边长分别是2和3,若它的第三边长为奇数,则这个三角形的周长为_ 8(2014大连)如图,ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,若BC4 cm,则DE_cm.,8,2,9(2014大连)如图,点A,B,C,D在一直线上,ABCD,AEBF,CEDF.求证:AEBF.,解:AEBF,AFBD,CEDF,DACE,ABCD,ABBCCDBC,即ACBD,ACEBDF(ASA),AEBF,10(2015沈阳)如图,点E为矩形ABCD外一点,AEDE,连接EB,EC分别与AD相交于点F,G.求证: (1)EABEDC; (2)EFGEGF.,解:(1)四边形ABCD是矩形,ABDC,BADCDA90,EAED,EADEDA,EABEDC,EABEDC(SAS) (2)EABEDC,AEFDEG,EFGEAFAEF,EGFEDGDEG,EFGEGF,三角形的三边关系,B,1c5,【点评】 三角形三边关系性质的实质是“两点之间,线段最短”根据三角形的三边关系,已知三角形的两边a,b,可确定三角形第三边长c的取值范围|ab|cab.,对应训练 1(1)(2015青海)已知三角形两边的长分别是4和10,则此三角形第三边的长可能是( ) A5 B6 C12 D16 (2)(丹东模拟)长为9,6,5,4的四根木条,选其中三根组成三角形,选法有( ) A1种 B2种 C3种 D4种,C,C,三角形的内角、外角的性质,【例2】 (1)(鞍山模拟)如图,把一块含有30角(A30)的直角三角板ABC的直角顶点放在矩形桌面CDEF的一个顶点C处,桌面的另一个顶点F与三角板斜边相交于点F,如果140,那么AFE( ) A50 B40 C20 D10,D,(2)一个零件的形状如图所示,按规定A90,B和C分别是32和21,检验工人量得BDC148,就断定这个零件不合格,请说明理由,解:延长BD交AC于E.DEC是ABE的外角,DECAB9032122.同理BDCCDEC21122143148,这个零件不合格,【点评】 有关求三角形角的度数的问题,首先要明确所求的角和哪些三角形有密切联系,若没有直接联系,可添加辅助线构建“桥梁”,C,解:BPC是PCD的外角,BPCBDC,同理BDCBAC,BPCBDCBAC,全等三角形判定的运用,【例3】 (1)(2015莆田)如图,AEDF,AEDF,要使EACFDB,需要添加下列选项中的( ) AABCD BECBF CAD DABBC,A,(2)(辽阳模拟)如图,BD,请添加一个条件(不得添加辅助线),使得ABCADC,并说明理由,【点评】 判定两个三角形全等的一般方法有:SSS,SAS,ASA,AAS,HL.注意:AAA,SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角,对应训练 3(1)(2015泰州)如图,ABC中,ABAC,D是BC的中点,AC的垂直平分线分别交AC,AD,AB于点E,O,F,则图中全等三角形的对数是( ) A1对 B2对 C3对 D4对,D,(2)(盘锦模拟)如图,已知点A,F,E,C在同一直线上,ABCD,ABECDF,AFCE. 从图中任找两组全等三角形; 从中任选一组进行证明,运用全等三角形的性质,【例4】 如图,在ABC中,D是BC的中点,EDDF,求证:BECFEF.,【点评】 利用中线加倍延长法,把BE,CF,EF集中在一个三角形中,利用三角形的两边之和大于第三边来证遇到中点问题,一般分两种解决办法,一是“中线倍长法”,二是寻找中点作中位线,对应训练 4(2015黑龙江)如图,四边形ABCD是正方形,点E在直线BC上,连接AE.将ABE沿AE所在直线折叠,点B的对应点是点B,连接AB并延长交直线DC于点F. (1)当点F与点C重合时如图,易证:DFBEAF(不需证明); (2)当点F在DC的延长线上时如图,当点F在CD的延长线上时如图,线段DF,BE,AF有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想,并选择一种情况给予证明,解:(1)由折叠可得ABAB,BEBE,四边形ABCD是正方形,ABDCDF,BCE45,BEBF,AFABBF,即DFBEAF (2)图的结论:DFBEAF;图的结论:BEDFAF;图的证明:延长CD到点G,使DGBE,连接AG,需证ABEADG,BAEDAG,AEBAGD,CBAD,AEBEAD,BAEBAE,BAEDAG,GAFDAE,AGDGAF,GFAF,BEDFAF;图的证明:在BC上取点M,使BMDF,连接AM,需证ABMADF,BAMFAD,AFAM,ABEABE,BAEEAB,MAEDAE,ADBE,AEMDAE,MAEAEM,MEMAAF,BEDFAF,18.留心“边边角”,试题 如图,已知D是ABC的边BC上的一点,E是AD上的一点,EBEC,12.求证:BAECAE.,错解 证明:在AEB和AEC中,AEAE,EBEC,12,AEBAEC(SSA),BAECAE.,正解 证明:EBEC,34.又12,1324,即ABCACB,ABAC.在AEB和AEC中,EBEC,12,ABAC,AEBAEC(SAS),BAECAE,
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