第一讲 随机事件的概率,理科数学】第十二章：概 率,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,命题规律,聚焦核心素养,考点1 随机事件的频率与概率 考点2 事件间的关系及运算 考点3 概率的基本性质,考法1 求随机事件的概率 考法2 求互斥事件、对立事件的概率,B考法帮题型全突破,理科数学 第十二章：概 率,考情精解读,命题规律 聚焦核心素养,理科数学 第十二章：概 率,命题规律,聚焦核心素养,1.命题分析预测 本讲主要考查利用频率估计概率,计算随机事件的概率,常涉及对立事件、互斥事件,一般以选择题或填空题的形式出现,有时也会与分布列、期望、方差和统计等知识进行交汇命题. 2.学科核心素养 本讲通过对频率、概率及其性质考查考生的数据分析、数学运算素养.,A考点帮知识全通关,考点1 随机事件的频率与概率 考点2 事件间的关系及运算 考点3 概率的基本性质,理科数学 第十二章：概 率,考点1 随机事件的频率与概率（重点）,1.事件的相关概念,2.频率与概率 (1)频率:在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数,称事件A出现的比例fn(A)= 为事件A出现的频率.,(2)概率:对于给定的随机事件A,在相同的条件S下,随着试验次数的增加,事件A发生的频率fn(A)= 会在某个常数附近摆动并趋于稳定,则把这个常数记作P(A),称为事件A的概率,简称为A的概率.,理科数学 第十二章：概 率,考点2 事件间的关系及运算（重点）,（续表）,理科数学 第十二章：概 率,辨析比较 互斥事件与对立事件的区别与联系,理科数学 第十二章：概 率,考点3 概率的基本性质（重点）,概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围:0P(A)1. (2)必然事件的概率P(E)=1. (3)不可能事件的概率P(F)=0. (4)概率的加法公式:如果事件A与事件B互斥,则P(AB)=P(A)+P(B). (5)对立事件的概率:若事件A与事件B互为对立事件,则P(A)+ P(B)=1. 注意 (1)互斥事件的概率加法公式的应用前提是“事件A与事件B互斥”,否则不可用.(2)对立事件的概率公式使用的前提是“事件A,B必须是对立事件”,否则不能使用.,思维拓展 探究概率加法公式的推广 (1)当一个事件包含多个结果时,要用到概率加法公式的推广,即P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)+P(An). (2)P( 1 2 )=1-P(A1A2An)=1-P(A1)-P(A2)-P(An).注意涉及的各事件要彼此互斥.,理科数学 第十二章：概 率,B考法帮题型全突破,考法1 求随机事件的概率 考法2 求互斥事件、对立事件的概率,理科数学 第十二章：概 率,考法1 求随机事件的概率,示例1 2017全国卷,18,12分某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:,以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率. (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率; (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.,理科数学 第十二章：概 率,思维导引 (1)“需求量不超过300瓶”这个事件即“最高气温低于25”,求出“最高气温低于25”的频数,进而求出频率,然后用频率估计相应概率;(2)先求出最高气温在不同区间的利润Y的值,即可求出Y大于零的频率,然后通过频率估计概率即可. 解析 (1)当最高气温低于25时,这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,由表格数据知,最高气温低于25的频率为=0.6,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6. (2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时, 若最高气温不低于25,则Y=6450-4450=900;,理科数学 第十二章：概 率,若最高气温位于区间20,25),则Y=6300+2(450-300)-4450=300; 若最高气温低于20,则Y=6200+2(450-200)-4450=-100. 所以Y的所有可能值为900,300,-100. 当且仅当最高气温不低于20时,Y大于零,由表格数据知,最高气温不低于20的频率为,=0.8,因此Y大于零的概率的估计值为0.8.,理科数学 第十二章：概 率,感悟升华 随机事件的频率与概率的常见类型及解题策略 (1)由频率估计概率.先根据已知条件计算所求事件发生的频数,然后计算事件发生的频率,再根据频率与概率的关系,由频率直接估计概率. (2)补全或列出频率分布表.可直接依据已知条件,逐一计数,写出频率. (3)由频率估计某部分的数值.先由频率估计概率,再由概率估算某部分的数值.,理科数学 第十二章：概 率,拓展变式 1 2015北京,17,13分某超市随机选取1 000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“”表示购买,“”表示未购买.,理科数学 第十二章：概 率,()估计顾客同时购买乙和丙的概率; ()估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率; )如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?,理科数学 第十二章：概 率,1.()从统计表可以看出,在这1 000位顾客中,有200位顾客同时购买了乙和丙,所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为 =0.2.,()从统计表可以看出,在这1 000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁3种商品,另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙3种商品,其他顾客最多购买了2种商品,所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为 =0.3.,理科数学 第十二章：概 率,()与()同理,可得: 顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为 =0.2, 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为 =0.6, 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为 =0.1. 因为0.60.20.1,所以如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大.,理科数学 第十二章：概 率,考法2 求互斥事件、对立事件的概率,示例2 某超市有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C.求: (1)P(A),P(B),P(C); (2)1张奖券的中奖概率; (3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.,思维导引 利用互斥事件的概率加法公式和对立事件的概率公式求解.,解析 (1)由题意得P(A)=,P(B)=,=,P(C)=,=,.,故事件A,B,C发生的概率分别为,.,(2)1张奖券中奖可能是中特等奖、一等奖或二等奖. 设“1张奖券中奖”为事件M,则M=ABC.,因为事件A,B,C两两互斥,(A,B,C三个事件中任意两个均不可能同时发生) 所以P(M)=P(ABC) =P(A)+P(B)+P(C) =,理科数学 第十二章：概 率,.,= .(事件M发生的概率可拆为三个互斥事件发生的概率之和) 故1张奖券中奖的概率为 .,(3)抽1张奖券的结果共有4种可能:中特等奖,中一等奖,中二等奖,不中奖.其中,事件“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”包含2种可能:中二等奖和不中奖.,解法一 (正面)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,设“1张奖券不中奖”为事件D.,由(2)得, P(D)=1-P(M)=1-,=,(“1张奖券中奖”与“1张奖券不中奖”是对立事件),理科数学 第十二章：概 率,.,所以P(N)=P(C)+P(D)=,+,= .,.(事件C与D是互斥事件) 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为 .,.,解法二 (反面)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件, 所以P(N)=1-P(AB)=1-(,+,- )= .,.(利用了补集思想求概率) 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为 .,.,理科数学 第十二章：概 率,.,答题模板 求复杂的互斥事件的概率的方法和步骤 (1)直接法,(2)间接法(正难则反,特别是“至多”“至少”型题目,用间接法求解简单.),理科数学 第十二章：概 率,拓展变式2 袋中有12个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取1个球,得到红球的概率是 1 3 ,得到黑球或黄球的概率是 5 12 ,得到黄球或绿球的概率也是 5 12 ,试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少?,解析 解法一 从袋中任取1个球,记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”分别为A,B,C,D, 则P(A)= 1 3 ,P(BC)=P(B)+P(C)= 5 12 ,P(CD)=P(C)+P(D)= 5 12 , P(BCD)=P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A)=1- 1 3 = 2 3 ,理科数学 第十二章：概 率,解得P(B)= 1 4 ,P(C)= 1 6 ,P(D)= 1 4 , 因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是 1 4 , 1 6 , 1 4 . 解法二 设红球有n个,则 12 = 1 3 , 解得n=4,即红球有4个. 又得到黑球或黄球的概率是 5 12 ,所以黑球和黄球共5个. 又总球数是12,所以绿球有12-4-5=3(个). 又得到黄球或绿球的概率也是 5 12 ,所以黄球和绿球共5个,理科数学 第十二章：概 率,而绿球有3个,所以黄球有5-3=2(个). 所以黑球有12-4-3-2=3(个). 因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是 3 12 = 1 4 , 2 12 = 1 6 , 3 12 = 1 4 .,理科数学 第十二章：概 率,