第1讲 导数的概念及运算,(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是过曲线yf(x)上点 的切线的斜率 2函数f(x)的导函数 若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数该函数称为f(x)的导函数，记作f(x),(x0，f(x0),3基本初等函数的导数公式,0,nxn1,cos x,sin x,ex,axln a,f(x)g(x),f(x)g(x)f(x)g(x),5复合函数的导数 若yf(u)，uaxb，则yx ，即yxyua.,yuux,辨 析 感 悟 1对导数概念的理解 (1)f(x0)是函数yf(x)在xx0附近的平均变化率 () (2)f(x0)与f(x0)表示的意义相同 () (3)f(x0)是导函数f(x)在xx0处的函数值 () 2导数的几何意义与物理意义 (4)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点 () (5)物体的运动方程是s4t216t，在某一时刻的速度为0，则相应时刻t0. () (6)(2012广东卷改编)曲线yx3x3在点(1,3)处的切线方程为2xy10. (),3导数的计算 (7)若f(x)a32axx2，则f(x)3a22x. () (8)(教材习题改编)函数yxcos xsin x的导函数是 yxsin x () (9)f(axb)f(axb) (),感悟提升 1“过某点”与“在某点”的区别 曲线yf(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，如(6)中点(1,3)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点,2导数运算及切线的理解应注意的问题 一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点，如(4) 三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积，如(9).,规律方法 (1)本题在解答过程中常见的错误有：商的求导中，符号判定错误；不能正确运用求导公式和求导法则，在第(3)小题中，忘记对内层函数2x1进行求导 (2)求函数的导数应注意： 求导之前利用代数或三角变换先进行化简，减少运算量； 根式形式，先化为分数指数幂，再求导 复合函数求导先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理,考点二 导数的几何意义 【例2】 (1)(2013广东卷)若曲线ykxln x在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k_. (2)设f(x)xln x1，若f(x0)2，则f(x)在点(x0，y0)处的切线方程为_,答案 (1)1 (2)2xye10,规律方法 (1)导数f(x0)的几何意义就是函数yf(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率第(1)题要能从“切线平行于x轴”提炼出切线的斜率为0，进而构建方程，这是求解的关键，考查了分析问题和解决问题的能力 (2)在求切线方程时，应先判断已知点Q(a，b)是否为切点，若已知点Q(a，b)不是切点，则应求出切点的坐标，利用切点坐标求出切线斜率，进而用切点坐标表示出切线方程,【训练2】 (1)(2012新课标全国卷)曲线yx(3ln x1)在点(1,1)处的切线方程为_ (2)若函数f(x)excos x，则此函数图象在点(1，f(1)处的切线的倾斜角为_(锐角、直角、钝角),答案 (1)4xy30 (2)钝角,规律方法 (1)准确求切线l的方程是本题求解的关键；第(2)题将曲线与切线l的位置关系转化为函数g(x)x1f(x)在区间(0，)上大于0恒成立的问题，进而运用导数研究，体现了函数思想与转化思想的应用 (2)当曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，切线方程为xx0；当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解.,1理解导数的概念时，要注意f(x0)，(f(x0)与f(x)的区别：f(x)是函数yf(x)的导函数，f(x0)是f(x)在xx0处的导数值，是常量但不一定为0，(f(x0)是常数一定为0，即(f(x0)0. 2对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误 3求曲线的切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别,易错辨析3求曲线切线方程考虑不周 【典例】 (2014杭州质检)若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)x33x22x和yx2a都相切，则a的值是_ 错解 点O(0,0)在曲线f(x)x33x22x上， 直线l与曲线yf(x)相切于点O. 则kf(0)2，直线l的方程为y2x. 又直线l与曲线yx2a相切， x2a2x0满足44a0，a1. 答案 1,错因 (1)片面理解“过点O(0,0)的直线与曲线f(x)x33x22x相切”这里有两种可能：一是点O是切点；二是点O不是切点，但曲线经过点O，解析中忽视后面情况 (2)本题还易出现以下错误：一是当点O(0,0)不是切点，无法与导数的几何意义沟通起来；二是盲目设直线l的方程，导致解题复杂化，求解受阻,防范措施 (1)求曲线的切线方程应首先确定已知点是否为切点是求解的关键，分清过点P的切线与在点P处的切线的差异 (2)熟练掌握基本初等函数的导数，导数的运算法则，正确进行求导运算,答案 ln 21,