2016年乌鲁木齐市高三数学理科二模卷学校:_姓名：_班级：_考号：_一、选择题（题型注释）1已知集合，则（ ）A B C D2复数对应的点在复平面的（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3已知偶函数在区间单调递增，则满足的的取值范围是（ ）A B C D4 若满足，则的最小值为（ ）A8 B7 C2 D15已知是第二象限角，且，则（ ）A B C D6如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A100 B92 C84 D767在平行四边形中，是的中点，则（ ）A1 B2 C3 D48执行如图所示的程序框图，若，则输出的结果为（ ）A1 B C2 D9已知都是正数，且，则的最小值为（ ）A B2 C D310设函数，若，则方程的所有根之和为（ ）A B C D11设，则下列不等式成立的是（ ）A B C D12设为双曲线右支上一点，是坐标原点，以为直径的圆与直线的一个交点始终在第一象限，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A B C D二、填空题（题型注释）13的展开式中的系数是 .14若椭圆的两焦点与短轴两端点在单位圆上，则此椭圆的内接正方形的边长为 .15已知四面体满足，则四面体的外接球的表面积是 .三、解答题（题型注释）16在三角形中，角角所对的边分别为，且，则此三角形的面积 .17已知数列的前项和为，且.（）求数列的通项公式；（）记，求数列的前项和为.18如图，三棱锥中，是正三角形，平面，为中点，垂足为.()求证：；（）求二面角的平面角的余弦值.19在一次高三数学模拟测验中，对本班“选考题”选答情况进行统计结果如下：（）在统计结果中，如果把“选修4-1”和“选修4-4”称为“几何类”，把“选修4-5”称为“非几何类”，能否有99%的把握认为学生选答“几何类”与性别有关？（）已知本班的两名数学课代表都选答的是“选修4-5”，现从选答“选修4-1”、“选修4-4”和“选修4-5”的同学中，按分层抽样的方法随机抽取7人，记抽取到数学课代表的人数为，求得分布列及数学期望.附：20在平面直角坐标系中，动点到点的距离比它到轴的距离多1.()求点的轨迹的方程；()过点任作直线，交曲线于两点，交直线于点，是的中点，求证：.21已知函数，其中.（）当时，求证：时，；（）试讨论函数的零点个数.22如图，中，以为直径的分别交于点交于点.求证：（）过点平行于的直线是的切线；（）.23在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆与圆交于两点.（）求直线的斜率；（）过点作的垂线分别交两圆于点，求.24设函数.（）若，求证：；（）若对任意，都有，求的最小值.第1页 共4页 第2页 共4页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。参考答案1B【解析】试题分析：，；故选B考点：1.不等式的解法；2.集合的运算2A【解析】试题分析：因为，所以对应的点为；故选A考点：1.复数的除法运算；2.复数的几何意义3A【解析】试题分析：是偶函数，再根据的单调性，得，解得；故选A考点：1.函数的单调性；2.函数的奇偶性4B【解析】试题分析：不等式组表示的平面区域如图所示，平移直线，可知当经过点时，取最小值；故选B考点：简单的线性规划5C【解析】试题分析：由,得，又是第二象限角, ，原式=；故选C考点：1.诱导公式；2.同角三角函数基本关系式6A【解析】试题分析：由几何体的三视图，可知该几何体为截去一角的长方体，其直观图如图所示，所以其体积；故选A考点：1.三视图；2几何体的体积.7C【解析】试题分析：；故选C考点：1.平面向量的线性运算；2.平面向量的数量积运算8D【解析】试题分析：由，解得或.由框图可知，开始，.第一步，.第二步， ，.第三步，.第四步，.第五步，因为，满足判断框内的条件，故输出结果为；故选D考点：程序框图9C【解析】试题分析：由题意知，则，当且仅当时，取最小值；故选C考点：基本不等式10C【解析】试题分析：， ，方程有两根，由对称性，有，；故选C考点：1.三角恒等变换；2.三角函数的性质11D【解析】试题分析：令，则，令则，当时，当时，函数的增区间为，减区间为，又当时，即，即而时，即，故A、B不正确，令，同理可知函数的增区间为，减区间为当时，即，即；故选D考点：利用导数研究函数的单调性12B【解析】试题分析：设，交点，则，与联立，得，若要点始终在第一象限，需要即要恒成立，若点在第一象限，此不等式显然成立；只需要若点在第四象限或坐标轴上此不等式也成立.此时，而，故恒成立，只需，即，；故选B考点：1.双曲线的结合性质；2.直线与圆的位置关系1320【解析】试题分析：展开式的通项为，由题意可知，的系数为；故填20考点：二项式定理14【解析】试题分析：不妨设椭圆方程为，依题意得，得椭圆方程为，设此内接正方形在第一象限的顶点坐标为，代入椭圆方程，得，所以正方形边长为；故填考点：椭圆的标准方程15【解析】试题分析：在四面体中，取线段的中点为，连结，则，在中,，同理，取的中点为,由，得，在中，,取的中点为，则,在中，,该四面体的外接球的半径是，其外接球的表面积是；故填考点：1.球的表面积；2.多面体和球的组合16【解析】试题分析：由题意得，而，又，不可能是钝角，而，即，；故填考点：1.正弦定理；2.三角形的面积公式17（）；（）【解析】试题分析：（）利用的关系得到数列的递推关系，利用等比数列的定义和通项公式进行求解；（）先利用对数运算求出，再利用错位相减法进行求解试题解析：（）当时，由得，时，由，当时， ，两式相减，得，即， 所以是首项为，公比为的等比数列，则. （），令，则记数列的前项和为，即则，两式相减，得 考点：1.与的关系；2.等比数列；3.错位相减法18（）证明见解析；（）【解析】试题分析：（）利用等腰三角形的三线合一证得线线垂直，再利用线面垂直的性质和判定证得线面垂直，再利用线面垂直的性质得到线线垂直；（）建立空间直角坐标系，利用平面的法向量求二面角的余弦值试题解析：（）连结,由题意得,又平面，,面,又，面,； （）如图，以为坐标原点，分别以,的方向为轴，轴正方向，建立空间直角坐标系.由题意得，则,，设平面的法向量为，则，即，令，则，于是，易知，平面的法向量为, ，即二面角的平面角的余弦 考点：1.空间中垂直关系的转化；2.空间向量在立体几何中的应用19（）有的把握认为学生选答“几何类”与性别有关；（）分布列略，【解析】试题分析：（）先利用列联表和公式求出值，再利用临界值表进行判定；（）先利用分层抽样确定各类同学的人数，列出随机变量的所有可能取值，求出每个变量对应的概率，列表得到分布列，再求其期望值试题解析：（）由题意得列联表所以根据此统计有的把握认为学生选答“几何类”与性别有关. （）根据分层抽样得，在选答“选修41”“选修44”和“选修45”的同学中分别抽取名，名，名，依题意知的可能取值为, ,所以的分布列为其期望值为. 考点：1.独立性检验思想的应用；2.分层抽样；3.随机变量的分布列和期望20（）；（）证明见解析【解析】试题分析：（）先利用抛物线的定义判定动点的轨迹，再利用待定系数法求抛物线方程；（）先利用分析法将所证结论进行和合理转化，再设出直线方程，与抛物线方程进行联立，利用根与系数的关系的关系进行求解试题解析：（）依题意，点到点的距离与它到直线的距离相等，点的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线，的方程为；（）根据对称性只考虑的斜率为正的情形，设点在准线上的投影分别为，要证，就是要证，只需证，即证设直线的方程为，代入，得，设，则，在中，令，得，即因此，要证式成立，只需证：只需证：，由两式，可知，式成立，原命题获证 考点：1.抛物线的定义和标准方程；2.直线与抛物线的位置关系21（）证明见解析；（）当和时，函数有两个零点，当时，函数有且仅有一个零点【解析】试题分析：（）作差构造函数，求导，利用导函数研究函数的单调性和最值进行求解；（）求导，讨论的取值范围，比较导函数的零点的大小，确定函数的极值，再由极值的正负判定函数零点的个数试题解析：（）当时，令，则，当时，此时函数递增，当时，当时， （） 令，得，当时，由得当时， ，此时，函数为增函数，时，时，故函数，在上有且只有一个零点 ；当时，且，由知，当，此时，；同理可得，当，；当时，；函数的增区间为和，减区间为故，当时，当时，函数，有且只有一个零点；又，构造函数，则 ，易知，对， 函数，为减函数，由，知，构造函数，则，当时，当时，函数的增区间为，减区间为，有，则，当时，而由知又函数在上递增，由和函数零点定理知，使得综上，当时，函数有两个零点，当时，由知函数的增区间是和，减区间是由知函数，当为减函数，当时从而；当时，又时，函数递增，使得，根据知，函数时，有；时，函数有且只有一个零点综上所述：当和时，函数有两个零点，当时，函数有且仅有一个零点 考点：1.函数的单调性和零点；2.导数在研究函数中的应用22（）证明见解析；（）证明见解析【解析】试题分析：（）连结，延长交于，利用圆内接四边