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23 数学归纳法,研题型 学方法,题型一 用数学归纳法证明等式,规律方法:用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题关键在于“先看项”,弄清等式两边的结构规律,等式的两边各有多少项,项的多少与n的取值是否有关系由“nk”到“nk1”时,等式的两边会增加多少项,增加怎样的项,题型二 用数学归纳法证明不等式,规律方法:用数学归纳法证明不等式的有关技巧 (1)证明不等式的第二步中,从nk到nk1的推导过程中要应用归纳假设,有时需要对目标进行适当的放缩来实现 (2)在应用归纳假设证明时,在证明过程中,方向不明确时,可采用分析法完成,经过分析找到推证的方向后,再用综合法、比较法等其他方法证明,题型三 用数学归纳法证明整除问题,题型四 用数学归纳法证明几何问题,平面上有n个圆,其中每两个圆都相交于两点,并且三个圆都不相交于同一点 求证:这n个圆把平面分成f(n)n2n2个部分 分析:证明第二步时,通常需要借助于图形的直观性,说清楚在满足条件的k个圆的基础上,增加了一个圆(第k1个圆)后,第k1个圆与前k个圆相交,被分成多少段弧,进而说明增加了多少个区域,从而建立起f(k)与f(k1)之间的递推关系,证明:(1)当n1时,一个圆把平面分成两个部分,而f(1)1122,因此,n1命题成立 (2)假设nk(k1,kN*)时命题成立,即k个圆把平面分成f(k)k2k2个部分 如果增加一个满足条件的任一个圆,则这个圆必与前k个圆相交于2k个点这2k个点把圆分成2k段弧,每段弧把它所在的原有平面分成2个部分因此,这是平面被分割的总数在原来的基础上又增加了2k部分, 即有f(k1)f(k)2kk2k22k(k1)2(k1)2. 即当nk1时,f(n)n2n2也成立 根据(1)(2)可知,n个圆把平面分成f(n)n2n2个部分,规律方法:用数学归纳法证明几何问题的类型及证法 (1)在几何问题中,常有与n有关的几何证明,其中有交点个数、直线条数、内角和、划分区域等问题这些问题可用数学归纳法证明 (2)利用数学归纳法证明这些问题时,关键是“找项”,即儿何元素从k个变成k1个时,所证的几何量将增加多少,这需用到几何知识或借助于几何图形来分析,在实在分析不出来的情况下,将nk1和nk分别代入所证的式子,然后作差,即可求出增加量,然后只需稍加说明即可,这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧,题型五 数学归纳法在数列中的应用,规律方法:数学归纳法在数列中的应用,一般是先用不完全归纳法猜想出结论,再用数学归纳法证明,析疑难 提能力,未应用归纳假设而致误.,
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