1.3 曲线的极坐标方程对应学生用书P8 读教材填要点1曲线的极坐标方程在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F(，)0.如果曲线C是由极坐标(，)满足方程的所有的点组成的，则称此二元方程F(，)0为曲线C的极坐标方程2直线的极坐标方程(1)当直线l过极点，从极轴到l的角是0，则l的方程为0.(2)当直线l过点M(d,0)且垂直于极轴时，l的方程为cos d.(3)当直线l过点M(d，)，且平行于极轴时，l的方程为sin_d.(4)极点到直线l的距离为d，极轴到过极点的直线l的垂线的角度为，此时直线l的方程为cos_()d.小问题大思维1在直角坐标系中，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程那么，在极坐标系中，曲线上一点的所有极坐标是否一定都适合方程？提示：在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程例如，给定曲线，设点P的一极坐标为，那么点P适合方程，从而是曲线上的一个点，但点P的另一个极坐标就不适合方程了所以在极坐标系内，确定某一个点P是否在某一曲线C上，只需判断点P的极坐标中是否有一对坐标适合曲线C的方程即可2在直线的极坐标方程中，的取值范围是什么？提示：的取值范围是全体实数对应学生用书P8极坐标方程与直角坐标方程的互化例1进行直角坐标方程与极坐标方程的互化：(1)y24x；(2)y2x22x10；(3)cos21；(4)2cos 24；(5).思路点拨本题考查极坐标与直角坐标的互化公式精解详析(1)将xcos ，ysin 代入y24x，得(sin )24cos .化简，得sin24cos .(2)将xcos ，ysin 代入y2x22x10，得(sin )2(cos )22cos 10.化简，得22cos 10.(3)cos21，1，即cos 2x2.化简，得y24(x1)(4)2cos 24，2cos22sin24，即x2y24.(5)，2cos 1.2x1.化简，得3x24y22x10.直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式xcos 及ysin 直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如cos ，sin ，2的形式，进行整体代换其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验1求极坐标方程cos1所表示的直角坐标方程解：将cos1化为cos sin 1.将cos x，sin y代入上式，得x1，即xy20.求曲线的极坐标方程例2在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线C的极坐标方程为cos1，M，N分别为C与x轴、y轴的交点(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程思路点拨(1)利用两角差余弦公式展开，结合互化公式可得直角坐标方程(2)先求出P点的直角坐标，再求出OP的极坐标方程精解详析(1)由cos1得1.从而C的直角坐标方程为xy1，即xy2.当0时，2，所以M(2,0)当时，所以N.(2)M点的直角坐标为(2,0)，N点的直角坐标为，所以P点的直角坐标为.则P点的极坐标为，所以直线OP的极坐标方程为(R)2设M是定圆O内一定点，任作半径OA，连接MA，自M作MPMA交OA于P，求P点的轨迹方程解：以O为极点，射线OM为极轴，建立极坐标系，如图设定圆O的半径为r，OMa，P(，)是轨迹上任意一点MPMA，|MA|2|MP|2|PA|2.由余弦定理，可知|MA|2a2r22arcos ，|MP|2a222acos .而|PA|r，由此可得a2r22arcos a222acos (r)2.整理化简，得.求直线的极坐标方程例3求出下列直线的极坐标方程：(1)过定点M(0，0)，且与极轴成弧度的角；(2)过定点M(0，0)，且与直线0垂直思路点拨本题考查直线的极坐标方程的求法解答本题需要根据已知条件画出极坐标系，然后借助平面几何的知识建立与间的关系精解详析(1)设P(，)为直线上任意一点(如图)，且记OPM1，OMP2，则1，2(0)在OMP中应用正弦定理得，即00.即直线方程为sin()0sin(0)(2)设P(，)为直线上任意一点(如图所示)，OMP为直角三角形，显然有cos (0)0.这就是所求直线方程求直线极坐标方程的步骤：(1)设(，)为直线上任一点的极坐标(2)写出动点满足的几何条件(3)把上述条件转化为，的等式(4)化简整理3求过A且和极轴所成角为的直线方程解：如图所示，A，即|OA|3，AOB.设M(，)为直线上任一点，由已知得MBx，OAB.OAM.OMAMBx.在MOA中，根据正弦定理，得.sinsin，将sin展开，化简上面的方程，可得(sin cos ).过A且和极轴所成角为的直线方程为(sin cos ).对应学生用书P10一、选择题1极坐标方程cos (0)表示的曲线是()A余弦曲线B两条相交直线C一条射线 D两条射线解析：选Dcos ，2k(kZ)又0，cos 表示两条射线2在极坐标系中与曲线C：4sin 相切的一条直线的方程为()Acos 2 Bsin 2C4sin D4sin解析：选A4sin 的普通方程为x2(y2)24，cos 2的普通方程为x2，圆x2(y2)24与直线x2显然相切3直线和直线sin()1的位置关系是()A垂直 B平行C相交但不垂直 D重合解析：选B直线化为直角坐标方程为yxtan ，sin()1化为sin cos cos sin 1，即yxtan .所以两直线平行4过点A(5,0)和直线垂直的直线的极坐标方程是()Asin5 BcosCsin Dsin解析：选C直线即直线yx，过点A(5,0)和直线垂直的直线方程为yx5，其极坐标方程为sin.二、填空题5在极坐标系中，直线l的方程为sin 3，则点到直线l的距离为_解析：将直线l的极坐标方程sin 3化为直角坐标方程为y3，点在直角坐标系中为(，1)，故点到直线l的距离为2.答案：26在极坐标系中，圆4被直线分成两部分的面积之比是_解析：直线过圆4的圆心，直线把圆分成两部分的面积之比是11.答案：117在极坐标系(，)(02)中，曲线2sin 与cos 1的交点的极坐标为_解析：由2sin ，得22sin ，其普通方程为x2y22y.cos 1的普通方程为x1.联立解得点(1,1)的极坐标为.答案：8在极坐标系中，定点A(1，)，点B在直线l：cos sin 0上运动当线段AB最短时，点B的极坐标是_解析：将cos sin 0化为直角坐标方程为xy0，点A化为直角坐标得A(0,1)如图，过A作AB直线l于B.因为AOB为等腰直角三角形，又因为|OA|1，则|OB|，故B点的极坐标是B.答案：三、解答题9求过(2,3)点且斜率为2的直线的极坐标方程解：由题意知，直线的直角坐标方程为y32(x2)，即2xy70.设M(，)为直线上任意一点，将xcos ，ysin 代入直角坐标方程2xy70，得2cos sin 70.这就是所求的极坐标方程10在极坐标系中，曲线C：10cos 和直线l：3cos 4sin 300相交于A，B两点，求线段|AB|的长解：分别将曲线C和直线l的极坐标方程化为直角坐标方程：圆C：x2y210x，即(x5)2y225，圆心C(5,0)直线l：3x4y300.因为圆心C到直线l的距离d3，所以|AB|28.11如图，点A在直线x4上移动，OPA为等腰直角三角形，OPA的顶角为OPA(O，P，A依次按顺时针方向排列)，求点P的轨迹方程，并判断轨迹形状解：取O为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线x4的极坐标方程为cos 4.设A(0，0)，P(，)点A在直线cos 4上，0cos 04.OPA为等腰直角三角形，且OPA，而|OP|，|OA|0，以及POA，0，且0.把代入，得点P的轨迹的极坐标方程为cos4.由cos4得(cos sin )4.点P轨迹的普通方程为xy4，是过点(4,0)且倾斜角为的直线9