算 法 案 例(45分钟 70分)一、选择题(每小题5分，共40分)1.2 146和1 813的最大公约数为( )A.36B.37C.38D.39【解析】选B.2 146=1 8131+333,1 813=3335+148,333=1482+37,148=374.故2 146与1 813的最大公约数为37.2.(2016淮南高一检测)利用秦九韶算法计算多项式f(x)=101x100+100x99+99x98 +2x+1当x=x0时的值，其中下面公式v0=101，vk=vk-1x0+101-k(k=1,2，100)被反复执行，可用循环结构来实现，那么该循环结构中循环体被执行的次数为( )A.200B.101C.100D.99【解析】选C.多项式的最高次数为100，故需要重复进行100次的乘法和加法运算，即执行循环体100次.3.(2016武汉高一检测)将五进制数10243(5)化为十进制数为( )A.683B.698C.823D.2 048【解析】选B.10243(5)=154+053+252+451+350=625+0+50+20+3=698.4.下列各数中最小的数是( )A.111111(2)B.210(6)C.1000(4)D.110(8)【解题指南】把各数都化为十进制数再比较大小.【解析】选A.把A，B，C，D项中的数都换成十进制数，那么，111111(2)=125+124+123+122+121+120=63，210(6)=262+161+060=78，1 000(4)=143=64，110(8)=182+181+080=72，故通过比较可知A中数最小. 5.用秦九韶算法求多项式f(x)=x5+0.11x3-0.15x-0.04当x=0.3时的值为( )A.-0.079 6B.0.079 6C.0.796D.-0.796【解析】选A.将f(x)改写为：f(x)=(x+0)x+0.11)x+0)x-0.15)x-0.04.按从内到外的顺序，依次计算多项式的值：v0=1,v1=v00.3+0=0.3,v2=v10.3+0.11=0.2,v3=v20.3+0=0.06,v4=v30.3-0.15=-0.132,v5=v40.3-0.04=-0.079 6.所以当x=0.3时，多项式的值为-0.079 6.6.四位二进制数能表示的最大十进制数是( )A.4B.64C.255D.15【解析】选D.由二进制数化为十进制数的过程可知，当四位二进制数为1 111时表示的十进制数最大，此时，1 111(2)=15.7.三个数72,120,168的最大公约数为( )A.48B.36C.24D.12【解析】选C.先求120,168的最大公约数，因为168=1201+48,120=482+24,48=242，所以120,168的最大公约数是24.再求72，24的最大公约数,因为72=243,所以72,24的最大公约数为24,即72,120,168的最大公约数为24.【一题多解】选C.先求120,168的最大公约数,168-120=48,120-48=72,72-48=24,48-24=24.所以120,168的最大公约数为24.再求72,24的最大公约数，72-24=48,48-24=24.所以72,24的最大公约数为24,即72,120,168的最大公约数为24.8.用秦九韶算法求次多项式()=anxn+an-1xn-1+a1x+a0，当=x0时，求f(x0)需要算乘方、乘法、加法的次数分别为( )A.,n,nB.n,2n,nC.0,2n,nD.0,n,n【解析】选D.利用秦九韶算法求f(x0)的值，不需要算乘方，只需要n次乘法，n次加法.二、填空题(每小题5分，共10分)9.235(7)=_(8).【解析】先将235(7)转化为十进制数，235(7)=272+37+570=124,所以235(7)=124.又124=174(8),所以235(7)=174(8).答案:17410.用秦九韶算法求多项式f(x)=x4-2x3+3x2-7x-5当x=4时的值,给出如下数据:0；2；11；37；143.其运算过程中(包括最终结果)会出现的数有_(只填序号).【解析】将多项式写成f(x)=(x-2)x+3)x-7)x-5.其中v0=1;v1=14-2=2;v2=24+3=11;v3=114-7=37;v4=374-5=143.答案:三、解答题(每小题10分，共20分)11.用两种方法求378和90的最大公约数.【解析】方法一：辗转相除法：378=904+18，90=185+0，所以378与90的最大公约数是18.方法二：更相减损术：因为378与90都是偶数.所以用2约简得189和45.189-45=144,144-45=99，99-45=54,54-45=9，45-9=36,36-9=27，27-9=18,18-9=9.所以378与90的最大公约数为29=18.【补偿训练】用辗转相除法或者更相减损术求三个数324,243,135的最大公约数.【解析】324=2431+81，243=813+0，则324与243的最大公约数为81.又135=811+54，81=541+27，54=272+0，则 81 与 135的最大公约数为27.所以,三个数324，243，135的最大公约数为27.【一题多解】324-243=81,243-81=162,162-81=81，则324与243的最大公约数为81.135-81=54,81-54=27,54-27=27，则81与135的最大公约数为27.所以，三个数324，243，135的最大公约数为27.12.用秦九韶算法求多项式f(x)=x7-2x6+3x3-4x2+1,当x=2时的函数值.【解析】先将多项式f(x)进行改写：f(x)=x7-2x6+3x3-4x2+1=(x-2)x+0)x+0)x+3)x-4)x+0)x+1.由内向外逐次计算：v0=1,v1=v0x+a6=12-2=0,v2=v1x+a5=02+0=0,v3=v2x+a4=02+0=0,v4=v3x+a3=02+3=3,v5=v4x+a2=32-4=2,v6=v5x+a1=22+0=4,v7=v6x+a0=42+1=9,故当x=2时多项式f(x)的值为f(2)=9.【能力挑战题】若二进制数10b1(2)和三进制数a02(3)相等，求正整数a，b.【解题指南】先将这两个数化为十进制数，再利用两数相等，同时注意a，b的取值范围来求a，b的值.【解析】10b1(2)=123+b21+1=2b+9，a02(3)=a32+2=9a+2，所以2b+9=9a+2.即9a-2b=7.又因为a1,2，b0,1.所以当a=1时，b=1，符合题意；当a=2时，b=不合题意.所以a=1，b=1.4