空间向量的基本定理,1、平行向量基本定理,复习,对于任意两个向量 ，则向量 与共线的充要条件是存在实数 ,使得,2.平面向量基本定理,如果 是平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数1,2，使得,这表明:平面内任一向量可以用该平面内的两个不共线向量线性表示.,我们把不共线的两个向量 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.,新定义,共面向量：,对于两个不共线向量 ,则向量 与向量 共面的充要条件是存在唯一的实数对(x,y),使得,3.共面向量定理,共面向量也称线性相关。,我们怎样表示空间向量中的任一向量呢?,(1)两个不共线向量能否表示空间任一向量?,通过平面向量基本定理来类似地推出空间向量基本定理.猜想:空间向量基本定理的内容是什么?,(2)空间任一向量能用三个不共面的向量来线性表示吗?,空间向量分解定理:,建构数学:,如果三个向量 不共面,那么对空间任一向量 ,存在唯一有序实数组(x,y,z),使得,O,A,P,A,C,B,B,P,证明:（1）先证存在性,过点P作直线PPOC，交平面OAB于点P；,在平面OAB内，过点P作直线PAOB，PBOA，分别 交直线OA，OB于点A，B.,空间向量分解定理:,存在实数则(x,y,z),使,C,(2)再证惟一性,用反证法,2.假设存在实数组 , 使,所以,即,因,所以有序实数组(x,y,z)惟一.,空间向量分解定理:,建构数学,(2)空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.,强调：对于基底,(4) 基底指一个向量组，基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念。,如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直,那么这个基底叫正交基底.,特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时,称为单位正交基底，通常用,建构数学:,1.可以根据空间向量的基本定理确定空间任意一点的位 置。这样，就建立了空间任意一点与惟一的有序实数组（x、y、z）之间的关系，从而为空间向量的坐标运算作准备，也为用向量方法解决几何问题提供了可能。 2.推论中若x+y+z=1，则必有P、A、B、C四点共面.,推论说明：,数学运用,练习,共线,共面,例2、如下图,在正方体OADB-CADB中,点E是AB与OD的交点,M是OD与CE的交点,试分别用向量OA,OB,OC 表示向量OD和OM。,A,A,D,D,B,O,C,B,E,数学运用,思考,解：由正三角形的性质知 BO1=2O1E，AO2=2O2E O1O2AB，且O1O2=1/3 AB。,4、如图，在空间四边形OABC中，已知E,F分别是BC,OA的中点，G在AE上，且AG=2GE，试用向量OA、OB、OC表示向量.,小结:,空间向量基本定理:,当x+y+z=1时，必有P、A、B、C四点共面.,