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第九章 平面解析几何,9.5 椭 圆,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,高频小考点,思想方法 感悟提高,练出高分,基础知识 自主学习,1.椭圆的概念 平面内到两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做 ,两个定点F1,F2叫做椭圆的 ,两焦点间的距离叫做椭圆的 . 集合PM|MF1MF22a,F1F22c,其中a0,c0,且a,c为常数: (1)若 ,则集合P为椭圆; (2)若 ,则集合P为线段; (3)若 ,则集合P为空集.,椭圆,焦点,ac,ac,ac,焦距,知识梳理,1,答案,2.椭圆的标准方程和几何性质,2a,2b,2c,a2b2c2,答案,点P(x0,y0)和椭圆的关系,知识拓展,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( ) (2)椭圆上一点P与两焦点F1,F2构成PF1F2的周长为2a2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距).( ) (3)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.( ) (4)方程mx2ny21(m0,n0,mn)表示的曲线是椭圆.( ),思考辨析,答案,答案,解析 当焦点在x轴上时,10mm20, 10m(m2)4,m4. 当焦点在y轴上时,m210m0, m2(10m)4, m8.,4或8,考点自测,2,解析答案,1,2,3,4,5,解析 由题意知25m216, 解得m29, 又m0, 所以m3.,3,解析答案,1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3,4,5,4.如果方程x2ky22表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是_.,又k0,所以0k1.,(0,1),解析答案,1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3,4,5,返回,解析 设P(x,y), 由题意知c2a2b2541, 所以c1,则F1(1,0),F2(1,0), 由题意可得点P到x轴的距离为1,,1,2,3,4,5,返回,题型分类 深度剖析,例1 如图所示,一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点,M是圆周上一动点,把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片,折痕为CD,设CD与OM交于点P,则点P的轨迹是_. 解析 由条件知PMPF. POPFPOPMOMROF. P点的轨迹是以O,F为焦点的椭圆.,命题点1 椭圆定义的应用,椭圆,题型一 椭圆的定义及标准方程,解析答案,例2 (1)已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的3倍,并且过点P(3,0),则椭圆的方程为_.,命题点2 利用待定系数法求椭圆方程,解析答案,解析答案,解析 设椭圆方程为mx2ny21(m0,n0且mn). 椭圆经过点P1,P2,点P1,P2的坐标适合椭圆方程.,解析答案,思维升华,思维升华,(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法,利用椭圆的定义定形状时,一定要注意常数2aF1F2这一条件. (2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后再根据条件建立关于a,b的方程组.如果焦点位置不确定,要考虑是否有两解,有时为了解题方便,也可把椭圆方程设为mx2ny21 (m0,n0,mn)的形式.,(1)已知圆(x2)2y236的圆心为M,设A为圆上任一点,且点N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是_.,解析 点P在线段AN的垂直平分线上, 故PAPN,又AM是圆的半径, PMPNPMPAAM6MN, 由椭圆定义知,P的轨迹是椭圆.,椭圆,跟踪训练1,解析答案,解析答案,由c2a2b2可得b24.,解析答案,c216,且c2a2b2,故a2b216. ,其焦点在y轴上,且c225916.,解析答案,由得b24,a220,,解析答案,解析 设点B的坐标为(x0,y0).,解析答案,题型二 椭圆的几何性质,2,解析答案,解析答案,思维升华,由题意知M为线段QF的中点,且OMFQ. 又O为线段F1F的中点, F1QOM, F1QQF,F1Q2OM.,解析答案,思维升华,解析答案,思维升华,思维升华,思维升华,(1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧 注意椭圆几何性质中的不等关系: 在求与椭圆有关的一些量的范围,或者最大值、最小值时,经常用到椭圆标准方程中x,y的范围,离心率的范围等不等关系. 利用椭圆几何性质的技巧: 求解与椭圆几何性质有关的问题时,要结合图形进行分析,当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的内在联系. (2)求椭圆的离心率问题的一般思路 求椭圆的离心率或其范围时,一般是依据题设得出一个关于a,b,c的等式或不等式,利用a2b2c2消去b,即可求得离心率或离心率的范围.,解析 在双曲线中m2n2c2,,跟踪训练2,解析答案,解析答案,命题点1 由直线与椭圆的位置关系研究椭圆的性质,解析答案,题型三 直线与椭圆的综合问题,设椭圆的半焦距为c,由已知PF1PF2,,解 由椭圆的定义,,解析答案,解 如图,连结F1Q,由PF1PQ,,PQPF1,得,解析答案,由椭圆的定义,PF1PF22a,QF1QF22a,,进而PF1PQQF14a,,解析答案,命题点2 由直线与椭圆的位置关系研究直线的性质,解析答案,(2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC2AB,求直线AB的方程.,解析答案,思维升华,当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为yk(x1),A(x1,y1),B(x2,y2), 将AB的方程代入椭圆方程,得(12k2)x24k2x2(k21)0,,解析答案,若k0,则线段AB的垂直平分线为y轴,与左准线平行,不合题意.,思维升华,解得k1.,此时直线AB的方程为yx1或yx1.,思维升华,思维升华,解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.涉及弦中点的问题时用“点差法”解决,往往会更简单.,(2015北京)已知椭圆C:x23y23,过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A,B两点,直线AE与直线x3交于点M. (1)求椭圆C的离心率;,跟踪训练3,解析答案,(2)若AB垂直于x轴,求直线BM的斜率;,解 因为AB过点D(1,0)且垂直于x轴, 所以可设A(1,y1),B(1,y1), 直线AE的方程为y1(1y1)(x2), 令x3,得M(3,2y1),,解析答案,(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系,并说明理由.,解析答案,解 直线BM与直线DE平行,证明如下: 当直线AB的斜率不存在时,由(2)可知kBM1.,解析答案,解析答案,所以kBM1kDE,所以BMDE. 综上可知,直线BM与直线DE平行.,返回,高频小考点,8.高考中求椭圆的离心率问题,高频小考点,解析答案,AFBF4,,AFAF04, a2.,解析 如图,设左焦点为F0,连结F0A,F0B, 则四边形AFBF0为平行四边形.,解析答案,温馨提醒,返回,解析答案,温馨提醒,3b44a2c2,,解析答案,温馨提醒,温馨提醒,温馨提醒,离心率是椭圆的重要几何性质,是高考重点考查的一个知识点.这类问题一般有两类:一类是根据一定的条件求椭圆的离心率;另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围.无论是哪类问题,其难点都是建立关于a,b,c的关系式(等式或不等式),并且最后要把其中的b用a,c表达,转化为关于离心率e的关系式,这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法.,返回,思想方法 感悟提高,1.椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性,正确理解、掌握定义是关键,应注意定义中的常数大于F1F2,避免了动点轨迹是线段或不存在的情况.,方法与技巧,3.讨论椭圆的几何性质时,离心率问题是重点,求离心率的常用方法有以下两种:,(2)列出关于a,b,c的齐次方程(或不等式),然后根据b2a2c2,消去b,转化成关于e的方程(或不等式)求解.,失误与防范,返回,练出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,4,PF26,PF12aPF21064.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A,B两点,且AB3,,3.已知F1(1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x的直线与 椭圆C交于A,B两点,且AB3,则C的方程为_.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 当PF1F2为直角时,根据椭圆的对称性知,这样的点P有2个; 同理当PF2F1为直角时,这样的点P有2个; 当P点为椭圆的短轴端点时,F1PF2最大,且为直角, 此时这样的点P有2个. 故符合要求的点P有6个.,6,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 圆M的方程可化为(xm)2y23m2, 则由题意得m234,即m21(m0), m1,则圆心M的坐标为(1,0). 由题意知直线l的方程为xc, 又直线l与圆M相切,c1,a231,a2. 答案 2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 由题意知椭圆的两个焦点F1,F2分别是两圆的圆心,且PF1PF210,从而PMPN的最小值为PF1PF2127.,7,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,因为点C在椭圆上,所以由椭圆定义知CACB2a,而AB2c,,3,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,又x20,a2,2c2a23c2,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,所以ac1. 又因为椭圆C的右准线为x4,,代入上式解得a2,c1,所以b23,,解 由题意知,直线l的方程为y2(xa),即2xy2a0,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(2)将直线l绕点A旋转,它与椭圆C相交于另一点P,当B,F,P三点共线时,试确定直线l的斜率.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,(2)设点C的坐标为(0,b),N为线段AC的中点,证明:MNAB.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
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