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第二章 函数概念与基本初等函数 I,2.5 指数与指数函数,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,思想与方法系列,思想方法 感悟提高,练出高分,基础知识 自主学习,1.分数指数幂 (1)规定:正数的正分数指数幂的意义是 正数的负分数指数幂的意义是 0的正分数指数幂等于 ;0的负分数指数幂_. (2)有理数指数幂的运算性质:asat ,(as)t ,(ab)t ,其中a0,b0,s,tQ.,0,没有意义,ast,ast,atbt,nN ,且 n1 );,(a0, m,,知识梳理,1,答案,2.指数函数的图象与性质,R,答案,y1,0y1,0y1,y1,增函数,减函数,(0,),(0,1),答案,答案,思考辨析,考点自测,2,解析答案,1,2,3,4,5,解析 函数f(x)的图象恒过(1,0)点,只有图象适合.,解析答案,1,2,3,4,5,3.(教材改编)已知0.2m”或“n.,解析答案,1,2,3,4,5,4.若函数y(a21)x在(,)上为减函数,则实数a的取值范围是_. 解析 由y(a21)x在(,)上为减函数,得0a211,,解析答案,1,2,3,4,5,5.函数y823x(x0)的值域是_. 解析 x0, x0, 3x3, 023x238, 0823x8, 函数y823x的值域为0,8).,0,8),解析答案,1,2,3,4,5,返回,题型分类 深度剖析,题型一 指数幂的运算,例1 化简:(1),解析答案,解析答案,思维升华,思维升华,(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,还应注意:必须同底数幂相乘,指数才能相加;运算的先后顺序. (2)当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.,0,跟踪训练1,解析答案,(1),解析答案,题型二 指数函数的图象及应用,例2 (1)函数f(x)axb的图象如 图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是_. a1,b1,b0; 00; 0a1,b0.,解析答案,解析 由f(x)axb的图象可以观察出, 函数f(x)axb在定义域上单调递减, 所以0a1. 函数f(x)axb的图象是在f(x)ax的基础上向左平移得到的, 所以b0. 答案 ,(2)若曲线|y|2x1与直线yb没有公共点,则b的取值范围是_. 解析 曲线|y|2x1与直线yb的图象如图所示, 由图象可知:如果|y|2x1与直线yb没有公共点, 则b应满足的条件是b1,1.,1,1,解析答案,思维升华,思维升华,(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点,判断所给的图象是否过这些点,若不满足则排除. (2)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.(3)有关指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象,数形结合求解.,(1)如图,面积为8的平行四边形OABC,对角线ACCO,AC与BO交于点E.某指数函数yax (a0,且a1)经过点E,B,则a_.,解析 设点E(t,at),则点B坐标为(2t,2at). 因为2ata2t, 所以at2.因为平行四边形OABC的面积OCACat2t4t, 又平行四边形OABC的面积为8, 所以4t8,t2,,跟踪训练2,解析答案,(2)已知函数f(x)|2x1|,af(c)f(b),则下列结论中,一定成立的是_. a0; 2a2c; 2a2c2.,解析答案,解析 作出函数f(x)|2x1|的图象,如图, af(c)f(b),结合图象知 00, 02a1. f(a)|2a1|12a1, f(c)1, 0c1. 12c2,,解析答案,f(c)|2c1|2c1, 又f(a)f(c), 12a2c1, 2a2c2. 答案 ,题型三 指数函数的图象和性质,命题点1 比较指数式的大小,例3 (1)下列各式比较大小正确的是_. 1.72.51.73; 0.610.62; 0.80.11.250.2; 1.70.30.93.1.,解析答案,解析 中, 函数y1.7x在R上是增函数,2.50.62,正确; 中,(0.8)11.25, 问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小. y1.25x在R上是增函数,0.11,00.93.1,正确. 答案 ,ac,故acb.,acb,(2)设 则a,b,c的大小关系是_.,解析答案,命题点2 解简单的指数方程或不等式,解析答案,所以a3,此时3a0;,所以0a1.故a的取值范围是(3,1). 答案 (3,1),命题点3 和指数函数有关的复合函数的性质,例5 设函数f(x)kaxax(a0且a1)是定义域为R的奇函数. (1)若f(1)0,试求不等式f(x22x)f(x4)0的解集;,解析答案,因为f(x)axln aaxln a(axax)ln a0, 所以f(x)在R上为增函数,原不等式可化为f(x22x)f(4x), 所以x22x4x,即x23x40, 所以x1或x1或x4.,解 因为f(x)是定义域为R的奇函数, 所以f(0)0,所以k10,即k1,f(x)axax.,又a0且a1,所以a1.,解析答案,思维升华,所以g(x)22x22x4(2x2x) (2x2x)24(2x2x)2. 令t(x)2x2x(x1),,解析答案,则t(x)在(1,)为增函数(由(1)可知),,思维升华,所以原函数为(t)t24t2(t2)22,,思维升华,思维升华,指数函数的性质及应用问题解题策略 (1)比较大小问题.常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法. (2)简单的指数方程或不等式的求解问题.解决此类问题应利用指数函数的单调性,要特别注意底数a的取值范围,并在必要时进行分类讨论. (3)解决指数函数的综合问题时,要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合,同时要特别注意底数不确定时,对底数的分类讨论.,(1)已知函数f(x)2|2xm|(m为常数),若f(x)在区间2,)上是增函数,则m的取值范围是_. 解析 令t|2xm|,,而y2t为R上的增函数, 所以要使函数f(x)2|2xm|在2,)上单调递增,,所以m的取值范围是(,4.,(,4,跟踪训练3,解析答案,解析答案,(2)如果函数ya2x2ax1(a0,a1)在区间1,1上的最大值是14,则a的值为_.,返回,解析 令axt,则ya2x2ax1t22t1(t1)22. 当a1时,因为x1,1,,所以ymax(a1)2214, 解得a3(负值舍去). 当0a1时,因为x1,1,,解析答案,返回,思想与方法系列,思想与方法系列,4.换元法在和指数函数有关的复合函数中的应用,思维点拨,解析答案,当t8时,ymax57.,解析 因为x3,2,,思维点拨 根据复合函数的单调性“同增异减”进行探求. 解析 设ux22x1,,又ux22x1的增区间为(,1, f(x)的减区间为(,1.,(,1,(2)函数 的单调减区间为_.,函数 的减区间即为函数ux22x1的增区间.,思维点拨,解析答案,返回,温馨提醒,温馨提醒,返回,(1)解决和指数函数有关的复合函数的单调性或值域问题时,要熟练掌握指数函数的单调性,搞清复合函数的结构,利用换元法转化为基本初等函数的单调性或值域问题;(2)换元过程中要注意“元”的取值范围的变化.,思想方法 感悟提高,1.通过指数函数图象比较底数大小的问题,可以先通过令x1得到底数的值,再进行比较. 2.指数函数yax (a0,a1)的性质和a的取值有关,一定要分清a1与0a1. 3.对与复合函数有关的问题,要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成.,方法与技巧,1.恒成立问题一般与函数最值有关,要与方程有解区别开来. 2.复合函数的问题,一定要注意函数的定义域. 3.对可化为a2xbaxc0或a2xbaxc0 (0)形式的方程或不等式,常借助换元法解决,但应注意换元后“新元”的范围.,失误与防范,返回,练出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1.函数f(x)ax21(a0且a1)的图象经过定点的坐标为_. 解析 a01, f(2)2, 故f(x)的图象必过点(2,2).,(2,2),解析答案,abc,abc.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,由于y|2x4|在(,2上递减,在2,)上递增, 所以f(x)在(,2上递增,在2,)上递减.,2,),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,4.若关于x的方程|ax1|2a (a0且a1)有两个不等实根,则a的取值范围是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,当a1时,如图(2), 而y2a1不符合要求.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 方程|ax1|2a (a0且a1)有两个实数根转化为函数 y|ax1|与y2a有两个交点. 当0a1时,如图(1), 02a1,,解析 原式,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解析 由函数yaxb (b0)的图象经过点P(1,3),得ab3,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,7.已知正数a满足a22a30,函数f(x)ax,若实数m、n满足f(m)f(n),则m、n的大小关系为_. 解析 a22a30, a3或a1(舍). 函数f(x)3x在R上递增, 由f(m)f(n),得mn.,mn,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,所以g(x)g(0)0;,所以g(x)g(0)0, 所以函数g(x)的最小值是0.,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,所以f(x)在(,2上单调递减,在(2,)上单调递增, 即函数f(x)的单调递增区间是
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