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,14.1 几何证明选讲,课时2 圆的进一步认识,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,思想方法 感悟提高,练出高分,基础知识 自主学习,1.圆周角与圆心角定理 (1)圆心角定理:圆心角的度数等于 . (2)圆周角定理:圆周角的度数等于其所对弧的度数的 . 推论1:同弧(或等弧)所对的圆周角 .同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等. 推论2:半圆(或直径)所对的圆周角等于 .反之,90的圆周角所对的弧为半圆(或弦为直径).,其所对弧的度数,一半,相等,90,知识梳理,1,答案,2.圆的切线的性质及判定定理 (1)判定定理:过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的 . (2)性质定理:圆的切线垂直于经过切点的 . 推论1:经过圆心且与切线垂直的直线必经过 . 推论2:经过切点且与切线垂直的直线必经过 . 3.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,切线长 . 4.弦切角定理 弦切角的度数等于其所夹弧的 .,切线,半径,切点,圆心,相等,度数的一半,答案,5.与圆有关的比例线段,PCPD,BDP,PCPD,PDB,答案,PBPC,PCA,PB,OPB,6.圆内接四边形的性质与判定定理 (1)性质定理:圆内接四边形的对角 . (2)判定定理:如果四边形的对角互补,则此四边形内接于圆.,互补,答案,1.如图,从圆O外一点P引圆的切线PC及割线PAB,C为切点.求证:APBCACCP.,证明 因为PC为圆O的切线,所以PCAPBC, 又CPABPC,故CAPBCP,,考点自测,2,解析答案,1,2,3,4,2.(2015重庆)如图,圆O的弦AB,CD相交于点E,过点A作圆 O的切线与DC的延长线交于点P,若PA6,AE9,PC3, CEED21,求BE的长. 解 首先由切割线定理得PA2PCPD,,又CEED21, 因此CE6,ED3, 再由相交弦定理AEEBCEED,,解析答案,1,2,3,4,3.如图,ABC中,BC6,以BC为直径的半圆分别交AB,AC于点E,F,若AC2AE,求EF的长.,解 AA,AEFACB,,解析答案,1,2,3,4,4.如图,在ABC中,ACB90,A60,AB20, 过C作ABC的外接圆的切线CD,BDCD,BD与外接圆 交于点E,求DE的长. 解 在RtACB中,ACB90,A60, ABC30.AB20,,CD为切线,BCDA60.,DE5.,1,2,3,4,解析答案,返回,题型分类 深度剖析,例1 (2015课标全国)如图,AB是O的直径,AC是O的 切线,BC交O于点E. (1)若D为AC的中点,证明:DE是O的切线;,证明 连结AE,由已知得,AEBC,ACAB. 在Rt AEC中,由已知得,DEDC,故DECDCE. 连结OE,则OBEOEB. 又ACBABC90, 所以DECOEB90, 故OED90,即DE是O的切线.,题型一 圆周角、弦切角和圆的切线问题,解析答案,解 设CE1,AEx,,由射影定理可得,AE2CEBE,,解析答案,思维升华,(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系,从而证明三角形全等或相似,可求线段或角的大小.(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化;关于圆周上的点,常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角.,思维升华,(1)如图所示,O的两条切线PA和PB相交于点P,与O相切于A,B两点,C是O上的一点,若P70,求ACB的大小.,解 如图所示,连结OA,OB, 则OAPA,OBPB. 故AOB110,,跟踪训练1,解析答案,(2)如图,圆O的半径为1,A、B、C是圆周上的三点,且满足ABC30,过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P,求PA的长.,解 如图,连结OA,由圆周角定理知AOC60,,又OAPA,在RtPOA中,,解析答案,例2 如图所示,已知AP是O的切线,P为切点,AC是 O的割线,与O交于B、C两点,圆心O在PAC的内 部,点M是BC的中点. (1)证明:A,P,O,M四点共圆;,证明 如图,连结OP,OM,因为AP与O相切于点P, 所以OPAP, 因为M是O的弦BC的中点,所以OMBC, 于是OPAOMA180. 由圆心O在PAC的内部,可知四边形APOM的对角互补, 所以A,P,O,M四点共圆.,题型二 四点共圆问题,解析答案,(2)求OAMAPM的大小. 解 由(1)得,A,P,O,M四点共圆, 所以OAMOPM, 由(1)得OPAP,因为圆心O在PAC的内部, 可知OPMAPM90, 所以OAMAPM90.,解析答案,思维升华,(1)如果四点与一定点距离相等,那么这四点共圆;(2)如果四边形的一组对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆;(3)如果四边形的一个外角等于它的内对角,那么这个四边形的四个顶点共圆.,思维升华,如图所示,四边形ABCD是O的内接四边形,AB的延长 线与DC的延长线交于点E,且CBCE. (1)证明:DE;,证明 由题设知,A,B,C,D四点共圆, 所以DCBE, 由已知得CBEE, 故DE.,跟踪训练2,解析答案,(2)设AD不是O的直径,AD的中点为M,且MBMC,证明:ADE为等边三角形.,证明 如图,设BC的中点为N,连结MN, 则由MBMC知MNBC,故点O在直线MN上. 又AD不是O的直径,M为AD的中点, 故OMAD,即MNAD. 所以ADBC,故ACBE. 又CBEE,故AE, 由(1)知,DE, 所以ADE为等边三角形.,解析答案,例3 (2015陕西)如图,AB切O于点B,直线AO 交O 于D,E两点,BCDE,垂足为C. (1)证明:CBDDBA;,证明 因为DE为O的直径, 则BEDEDB90, 又BCDE,所以CBDEDB90, 从而CBDBED, 又AB切O于点B,得DBABED, 所以CBDDBA.,题型三 与圆有关的比例线段,解析答案,解 由(1)知BD平分CBA,,故DEAEAD3,即O的直径为3.,解析答案,思维升华,(1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容:如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等. (2)相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明.解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用.,思维升华,(1)如图,已知圆中两条弦AB与CD相交于点F,E是AB延 长线上一点,且DFCF ,AFFBBE421, 若CE与圆相切,求线段CE的长.,解 由相交弦定理得AFFBDFCF, 由于AF2FB,可解得FB1,,跟踪训练3,解析答案,(2)(2014湖北)如图,P为O外一点,过P点作O的两条切线,切点分别为A,B.过PA的中点Q作割线交O于C,D两点.若QC1,CD3,求PB的长.,解 由切割线定理得QA2QCQD4,解得QA2. 由切线长定理得PBPA2QA4.,解析答案,返回,思想方法 感悟提高,1.判定切线通常有三种方法: (1)和圆有唯一公共点的直线是圆的切线; (2)与圆心距离等于半径的直线是圆的切线; (3)过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线. 2.四点共圆问题主要结合圆中有关边、角定理进行推理和说明,利用圆内接四边形的性质或判定对问题求解. 3.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路: (1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论; (2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时,可转化为证明三角形相似,一般思路为“相似三角形比例式等积式”.在证明中有时还要借助中间比来代换,解题时应灵活把握.,返回,练出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1.(2015江苏)如图,在ABC中,ABAC,ABC的外接圆O的弦AE交BC于点D.求证:ABDAEB.,证明 因为ABAC,所以ABDC. 又因为CE,所以ABDE, 又BAE为公共角,可知ABDAEB.,解析答案,2.如图,AB是圆O的直径,C,D是圆O上位于AB异侧的两点. 证明:OCBD. 证明 因为B,C是圆O上的两点, 所以OBOC. 故OCBB. 又因为C,D是圆O上位于AB异侧的两点, 故B,D为同弧所对的两个圆周角, 所以BD. 因此OCBD.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,3.(2015湖南)如图,在O中,相交于点E的两弦AB,CD的 中点分别是M,N,直线MO与直线CD相交于点F, 证明:MENNOM180.,证明 如图所示,因为M,N分别是弦AB,CD的中点, 所以OMAB,ONCD, 即OME90,ENO90, 因此OMEENO180, 又四边形的内角和等于360, 故MENNOM180.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,4.如图,AB是圆O的直径,直线CE与圆O相切于点C,AD CE于点D,若圆O的面积为4,ABC30,求AD的长.,解 由题意可知圆O的半径为2,,由弦切角定理可知ACDABC30,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,5.如图,已知CB是O的一条弦,A是O上异于B,C 的任意一点,过点A作O的切线交直线CB于点P,D为 O上一点,且ABDABP.求证:AB2BPBD. 证明 AP与O相切于点A,AB为O的弦, ADBPAB, 又在DBA和ABP中,DBAABP,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,6.如图,过O外一点P作O的切线PA,切点为A,连结OP 与O交于点C,过C作AP的垂线,垂足为D,若PA12 cm, PC6 cm,求CD的长. 解 设O的半径为r, 由切割线定理得AP2PC(PC2r), 即1226(62r),解得r9. 连结OA,则有OAAP. 又CDAP,所以OACD.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,7.如图,已知AB是O的直径,CD是O的弦,分别延 长AB,CD相交于点M,点N在O上,ANAC. 证明:MDN2ACO. 证明 如图,连结ON,因为ANAC, ONOC,OA是公共边, 所以ANOACO,故OACOAN. 又OACACO, 所以NACOACOANACOOAC2ACO. 因为A,C,D,N四点共圆,所以MDNNAC, 所以MDN2ACO.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,8.如图,PA是圆O的切线,切点为A,PA2,AC是圆O的 直径,PC与圆O交于点B,PB1,求圆O的半径R. 解 由切割线定理可得PA2PBPC,,所以BCPCPB3, 因为AC是圆O的直径,所以ABC90, 所以AB2BCBP3, 所以AC2BC2AB29312,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,9.如图,ABC
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