10.5 曲线与方程,高考数学,考点 曲线与方程 1.曲线与方程 一般地,在平面直角坐标系中,如果某曲线C(看作适合某种条件的点的 集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系: (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上,那么这个方程叫做曲线的 方程,这条曲线叫做方程的曲线. 2.求动点的轨迹方程的步骤 (1)建系建立适当的坐标系; (2)设点设轨迹上的任一点P(x,y); (3)列式列出动点P所满足的关系式;,知识清单,(4)代换依条件式的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为 关于x、y的方程式,并化简; (5)证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程. 3.要注意有的轨迹问题包含一定的隐含条件,也就是曲线上点的坐标的 取值范围.由曲线和方程的概念可知,在求曲线方程时一定要注意它的 完备性和纯粹性,即轨迹若是曲线的一部分,应对方程注明x的取值范围, 或同时注明x、y的取值范围. 4.“轨迹”与“轨迹方程”既有区别又有联系,求“轨迹”时先要求出 “轨迹方程”,然后再说明方程表示的轨迹图形,最后“补漏”和“去 掉增多”的点,若轨迹有不同的情况,应分类讨论,以保证它的完整性.,直接法求轨迹方程 如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系,或这些几何 条件简单明了且易于表达,那么我们只需把这种关系“翻译”成含x、y 的等式就可得到曲线的轨迹方程.由于这种求轨迹方程的过程不需要其 他步骤,也不需要特殊的技巧,所以称之为直接法. 例1 (2017浙江杭州质检,19)在平面直角坐标系内,已知点A(0,1),B(0,- 1),C(1,0),点P满足 =k| |2. (1)若k=2,求点P的轨迹方程; (2)当k=0时,若| + |max=4,求实数的值.,方法技巧,解题导引 (1)利用向量的数量积,得动点坐标的关系式化简得轨迹方程 (2)由向量的数量积得动点P的轨迹为圆把| + |2化简为关于点P纵坐标的函数对进行分类讨论检验得结论,解析 (1)设P(x,y),则 =(x,y-1), =(x,y+1), =(1-x,-y). 由k=2,得(x,y-1)(x,y+1)=2(1-x)2+(-y)2, 化简并整理得(x-2)2+y2=1, 故点P的轨迹方程为(x-2)2+y2=1. (7分) (2)由k=0,得 =0,所以 x2+y2=1. 所以| + |2=2 + =2x2+(y-1)2+x2+(y+1)2=(2-22)y+22+2,y- 1,1. 当2-220,即-11时, (| + |max)2=2-22+22+2=416,不合题意,舍去; 当2-220,即1或-1时,(| + |max)2=22-2+22+2=16,解得=2,符合题意. 故实数的值为-2或2. (15分),评析 本题考查向量的数量积运算,用直接法求轨迹方程、条件最值等 基础知识,考查运算求解能力和分类讨论思想.,定义法求轨迹方程 若所求动点的轨迹符合某一基本轨迹的定义,则可根据定义直接求出动 点的轨迹方程. 例2 (2016浙江名校交流卷,4)一动圆与圆O:x2+y2=1外切,与圆C:x2+y2-6 x+8=0内切,那么动圆的圆心的轨迹是 ( ) A.双曲线的一支 B.椭圆 C.抛物线 D.圆,A,解题导引 利用圆与圆内切、外切的性质得连心线长消去未知量得两连心线 长的差为定值由双曲线定义得结论,解析 设动圆的圆心为P(x,y),动圆的半径为r,则有|PO|=r+1,且|PC|=r-1, 从而有|PO|-|PC|=2,故选A.,相关点法求轨迹方程 有些问题中,某动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着另一动 点(称之为相关点)的运动而运动的.如果相关点所满足的条件是明显的, 或是可分析的,这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点 所满足的方程即可求得动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做相 关点法,又叫代入法或坐标代换法. 例3 已知定点A(1,0)及圆x2+y2=4上的两点P,Q,满足POQ=60(其中O 为坐标原点),则PAQ的重心G的轨迹方程为 .,解题导引 设点的坐标,由条件得横、纵坐标的等量关系由重心坐标公式,用点P,Q 的坐标表示重心G的坐标化简得轨迹方程,解析 设P(x1,y1),Q(x2,y2),G(x,y),则有 + =4, + =4,又x1x2+y1y2= =22cos 60=2. 而 则(3x-1)2+9y2=(x1+x2)2+(y1+y2)2=12, 化简得 +y2= . PAQ的重心G的轨迹方程为 +y2= .,答案 +y2=,