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第二节 圆内接四边形的性质与判定定理,1.理解圆内接多边形,多边形的外接圆的概念 2掌握并灵活运用圆内接四边形的性质与判定定理及其推论.,课标定位,1圆内接四边形的性质与判定定理的应用(重点) 2圆内接四边形的性质与判定的研究往往与三角形联系在一起(难点) 3以选择题、填空题为主.,No.1 预习学案,1圆内接四边形的性质 (1)圆的内接四边形_ 如图:四边形ABCD内接于O,则有:A_180,B_180.,对角互补,C,D,(2)圆内接四边形的外角等于它的_ 如图:CBE是圆内接四边形ABCD的一外角,则有:CBE_,内角的对角,D,2圆内接四边形的判定 (1)判定定理:如果一个四边形的_,那么这个四边形的四个顶点共圆 (2)推论:如果四边形的一个外角等于它的内角的_,那么这个四边形的四个顶点_,对角互补,对角,共圆,1已知四边形ABCD是圆内接四边形,下列结论中正确的有( ) 如果AC,则A90;如果AB,则四边形ABCD是等腰梯形;A的外角与C的外角互补;ABCD可以是1234. A1个 B2个 C3个 D4个,解析: 由“圆内接四边形的对角互补”可知:相等且互补的两角必为直角;两相等邻角的对角也相等(亦可能有ABCD的特例);互补两内角的外角也互补;两组对角之和的份额必须相等(这里1324)因此得出正确,错误 答案: B,2圆内接平行四边形一定是( ) A正方形 B菱形 C等腰梯形 D矩形 解析: 由于圆内接四边形对角互补,平行四边形的对角相等,圆内接平行四边形的各角均为直角,故为矩形 答案: D,3如图,四边形ABCD为O内接四边形,已知BOD60,则BAD_,BCD_. 答案: 30 150,4如图,四边形ABCD内接于O,过点A作AEBD交CB的延长线于点E. 求证:ABADBECD,No.2 课堂学案,在O中,ACAB,E是弦BC延长线上的一点,AE交O于点D 求证:AC2ADAE.,用圆内接四边形的性质定理解决与线段长度有关的问题,1.已知如图,四边形ABCD内接于圆,延长AD,BC相交于点E,点F是BD的延长线上的点,且DE平分CDF. (1)求证:ABAC; (2)若AC3 cm,AD2 cm,求DE的长 解析: (1)证明:ABC2,213,43. ABC4. ABAC,如图所示,在圆内接四边形ABCD中,AC平分BD,且ACBD,BAD72,求四边形其余的各角,利用圆内接四边形的性质定理求角,思路点拨,解题过程 四边形ABCD是圆内接四边形, BADBCD180. 又BAD72,BCD108. 又AC平分BD,并且ACBD, AC是四边形ABCD外接圆的直径 ABCADC90. 规律方法 如何利用圆内接四边形的性质定理求角? (1)观察图形,找出圆内接四边形的对角或内对角; (2)利用圆内接四边形的性质定理1或性质定理2求出所要求的角,2.如图所示,已知O的内接四边形ABCD,AB和DC的延长线交于点P,AD和BC的延长线交于点Q.如果A50,P30,求Q的度数 解析: ABCD是O的内接四边形, QCDA50. 又P30, CDQPA80. Q180805050.,如图所示,在ABC中,ADDB,DFAB交AC于F,AEEC,EGAC交AB于G.求证: (1)D、E、F、G四点共圆; (2)G、B、C、F四点共圆,证明点共圆问题,思路点拨 (1)要证D、E、F、G四点共圆,只需找到过这四点的外接圆的圆心,证明圆心到四点的距离相等,可取GF的中点H,证点H即为圆心 (2)要证G、B、C、F四点共圆,只需证BAFG(或CAGF),由D、E为中点,可知DEBC,BADE,故只需证ADEAFG,由D、E、F、G四点共圆可得,解题过程 证明:(1)如图, 连接GF,取GF的中点H. DFAB,EGAC, DGF,EGF都是直角三角形 又点H是GF的中点, 点H到D、E、F、G的距离相等, 点H是过D、E、F、G的外接圆的圆心, D、E、F、G四点共圆,(2)连接DE.由(1)知,D、G、F、E四点共圆 由四点共圆的性质定理的推论,得ADEAFG. ADDB,AEEC,D是AB的中点,E是AC的中点, DEBC,ADEB,AFGB, G、B、C、F四点共圆,规律方法 (1)判断四点共圆的步骤 观察几何图形,找到一定点、一对对角或一外角与其内对角; 判断四点与这一定点的关系; 判断四边形的一对对角的和是否为180; 判断四边形一外角与其内对角是否相等; 下结论 (2)注意事项 在证明一个命题成立时,要根据命题中的条件和结论画出图形,并且写出已知和求证,3.已知:如图,E、F、G、H分别为菱形ABCD各边的中点,对角线AC与BD相交于O点,求证:E、F、G、H共圆(用“四边形对角互补”的方法证明),证明: 连接EF、FG、GH、HE. E、F分别为AB、BC的中点, EFAC同理EHBDHEFAOB ACBD,HEF90 同理FGH90. HEFFGH180.E、F、G、H共圆,圆内接多边形的综合应用,解析: (1)证明:如图,设F为AD延长线上一点 A、B、C、D四点共圆, CDFABC 又ABAC,ABCACB 又ADBACB ADBCDF. 又EDFADB,EDFCDF, 即AD的延长线平分CDE.,规律方法 此类问题综合性较强,考查知识点较为丰富,往往涉及圆内接四边形的判定与性质的证明和应用,最终得到某些结论的成立,1证明四点共圆有哪几种常用方法? (1)证明四点到一定点距离相等 (2)同底同侧等顶点的两个三角形共外接圆 (3)对角互补(外角等于它的内角的对角)的四边形的顶点共圆 (4)满足相交弦定理、割线定理(第五节学习)的四点共圆,2如何证明多圆共点? 证明多圆共点没有现成的定理可用,常常把要证的命题化归为共圆点的命题来解决,可证两圆的交点在第三圆上,或证各圆通过同一点,3圆内接四边形中应注意哪些问题? (1)圆内接四边形是圆内接多边形的一种特殊情况,它们的关系可以用集合形式表示:圆内接四边形圆内接多边形 (2)掌握一些常见的结论,例如,正多边形一定存在外接圆;三角形一定存在外接圆,并且三角形的外接圆的圆心(即外心)是三条边的垂直平分线的交点;圆内接梯形一定是等腰梯形等,(3)在圆内接四边形的判定定理的证明中,利用了穷举法所谓的“穷举法”就是当问题的结论存在多种情形时,通过对每一种情况分别论证,最后获证结论的方法在每一种情形的证明中都用到了反证法,要注意这些方法的应用 (4)要注意圆内接四边形的性质定理和判定定理的综合应用 (5)圆内接四边形的性质即对角互补,一个外角等于其内角的对角,可用来作为三角形相似的条件,从而证明一些比例式的成立或证明某些等量关系,
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