第三章 4 曲线与方程,4.2 圆锥曲线的共同特征,学习目标 1.理解椭圆、双曲线的第二定义. 2.了解圆锥曲线的共同特征. 3.会用圆锥曲线的统一定义解决问题.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考,知识点一 椭圆的第二定义,椭圆是如何定义的？(第一定义),我们把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆.这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距.,答案,梳理,右准线,离心率e,(2)两点说明 在上述定义中，只有当0e1时才表示椭圆.,知识点二 双曲线的第二定义,思考,双曲线的第一定义是什么？,我们把平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线.定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距.双曲线定义中的“常数”常用2a(a0)表示，焦距常用2c(c0)表示.,答案,梳理,(1)双曲线的第二定义内容,知识点三 圆锥曲线的共同特征统一定义,圆锥曲线上的点M到一个定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比为定值e.当0e1时，圆锥曲线是 ；当e1时，圆锥曲线是 ；当e1时，圆锥曲线是 .此即为圆锥曲线的统一定义.,椭圆,抛物线,双曲线,题型探究,类型一 由圆锥曲线的共同特征确定曲线的形状及方程,例1 方程 |xy2|表示的曲线是 A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.不能确定,答案,解析,它表示点(x，y)到点(1，1)的距离等于点(x，y)到直线xy20的距离， 且点(1，1)不在直线xy20上，故该方程表示的曲线是抛物线.,在圆锥曲线的共同特征中，曲线上的点到定点的距离与它到定直线的距离之比是一常数，这本身就是一个几何关系.由此求曲线方程时，直接进行坐标的代换即可求出曲线的方程.可以根据常数的大小(与1比较)来判断所求轨迹是什么曲线.,反思与感悟,解答,方法二 由椭圆的第二定义可知点M的轨迹是椭圆，,类型二 依据圆锥曲线的性质求其方程,例2 根据下列条件分别求椭圆的标准方程.,解答,因为椭圆的一条准线为直线x5，所以椭圆的焦点在x轴上.,解答,圆锥曲线的准线方程是圆锥曲线的一个几何性质，已知准线方程可得a，c之间的一个关系式，结合其他已知条件可求出圆锥曲线的标准方程.,反思与感悟,跟踪训练2 已知双曲线的渐近线方程为3x4y0，一条准线的方程为5y3 0，求此双曲线的方程.,解答,类型三 椭圆、双曲线的第二定义及应用,答案,解析,设P(x0，y0)，则|PF|aex0. 又点F在线段AP的垂直平分线上，,椭圆(双曲线)上的任一点和焦点所连线段的长称为焦半径. (1)椭圆的焦半径公式 当椭圆的焦点在x轴上时，设F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，P(x0，y0)是椭圆上任一点，则|PF1|aex0，|PF2|aex0.,反思与感悟,同理，得|PF2|aex0. 简记为：左“”右“”. 同理可知，当椭圆的焦点在y轴上时，焦半径公式为|PF1|aey0，|PF2|aey0(F1为下焦点，F2为上焦点). 综上可知，过焦点的弦的弦长仅与焦点弦中点的横坐标有关.,(2)双曲线的焦半径公式 对于双曲线 1(a0，b0)(F1为左焦点，F2为右焦点)： 若点P(x1，y1)在左支上，则|PF1|aex1，|PF2|aex1； 若点P(x1，y1)在右支上，则|PF1|aex1，|PF2|aex1. 对于双曲线 1(a0，b0)(F1为下焦点，F2为上焦点)： 若点P(x1，y1)在下支上，则|PF1|aey1，|PF2|aey1； 若点P(x1，y1)在上支上，则|PF1|aey1，|PF2|aey1.,跟踪训练3 已知双曲线x23y23上一点P到左，右焦点的距离之比为12，求点P到右准线的距离.,解答,设F1，F2分别为双曲线的左，右焦点，,设点P到右准线的距离为d，,即点P到右准线的距离为6.,当堂训练,2,3,4,5,1,答案,解析,2,3,4,5,1,答案,解析,2,3,4,5,1,答案,解析,2,3,4,5,1,4.已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为 ，E的右焦点与抛物线C：y28x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|_.,答案,解析,6,抛物线C：y28x的焦点坐标为(2，0)，准线方程为x2，,即椭圆的半焦距c2.,A，B是C的准线x2与E的两个交点，把x2代入椭圆方程得y3，所以|AB|6.,2,3,4,5,1,解答,则a10，c2a2b264，解得c8，故点(8，0)是椭圆的右焦点，,设点P到点(8，0)的距离为d，,故点P到点(8，0)的距离为8.,规律与方法,应用椭圆和双曲线的第二定义，解题时需要注意“到定点的 距离与到定直线的距离之比为常数e(0e1或e1)”，其中“定点”是指焦点，“定直线”是指相应准线.一定要注意“左焦点对应左准线，右焦点对应右准线”. 椭圆、双曲线的定义从不同的角度反映了椭圆、双曲线的特征，解题时要灵活运用. 一般地，如果遇到有动点到两定点距离的问题，应自然联想到椭圆、双曲线的第一定义，如果遇到有动点到一定点与一定直线的距离问题，应自然联想到椭圆、双曲线的第二定义. 椭圆、双曲线的第二定义揭示了椭圆、双曲线上的点到焦点的距离与它到对应准线距离的关系，因此可以把椭圆、双曲线上一点到焦点的距离转化为到其准线的距离.,本课结束,