1.3.2 函数的极值与导数,函数的极值与导数,内容：函数极值的概念及其与 导数的关系,应用,求函数的极值,给函数的极值求函数的解析式,给函数的极值求函数的单调区间,本课主要学习函数的极值与导数。以视频摆锤极限转动最高点引入新课，接着探讨在跳水运动中,运动员相对于水面的高度与起跳后的时间的函数图象，从图象的增与减定义函数极大值的概念，类似地借助函数图象定义函数极小值的概念，探讨判断函数极值的方法和步骤。重点是理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值，掌握利用导数求不超过三次的多项式函数极值的一般方法.难点是函数在某点取得极值的必要条件和充分条件为了巩固新知识，给出3个例题和变式，通过解决问题说明导数在求函数极值问题中的应用。 在讲述函数的极值与导数时，采用例题与变式结合的方法，通过例1和变式1探讨求已知函数极值的方法。例2和变式2、例3和变式3都是利用已知的极值点求函数的解析式或函数的单调区间。采用一讲一练针对性讲解的方式，重点理解导数在求函数极值中应用。,通过观看视频，大家一起讨论一下摆锤极限转动最高点问题.,摆锤极限转动最高点,跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t(单位：秒)存在函数关系 h(t)=-4.9t 2+6.5t+10,其图象如右.,单调递增,单调递减,对于d点, 函数y=f(x)在点x=d的函数值f(d)比在其附 近其他点的函数值都小， =0.,在点x=d 附近的左侧 0,我们把点d叫做函数y=f(x)的极小值点， f(d)叫做函数y=f(x)的极小值.,在点 x=e 附近的左侧 0 在点 x=e 附近的右侧 0,对于e点， 函数y=f(x)在点x=e的函数值f(e)比在其附 近其他点的函数值都大， =0 。,我们把点e叫做函数y=f(x)的极大值点， f(e)叫做函数y=f(x)的极大值。,极小值点、极大值点统称为极值点,极小值、极大值统称为极值,极大值一定大于极小值吗？,不一定,观察图像并类比于函数的单调性与导数关系的研究方法,看极值与导数之间有什么关系?,f(x) 0,f(x) =0,f(x) 0,极大值,f(x) 0,f(x) =0,极小值,f(x) 0,请问如何判断f (x0)是极大值或是极小值？,左正右负为极大，右正左负为极小,函数y=f(x)的导数y/与函数值和极值之间的关系为( ) A、导数y/由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值 B、导数y/由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值 C、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值 D、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值,D,例1、求函数f(x)=x3-12x+12的极值.,解： =3x2-12=3(x-2)(x+2),令 =0,得x=2,或x=-2,下面分两种情况讨论：,(1)当 0即x2,或x-2时;,(2)当 0即-2x2时;,当x变化时， , f(x)的变化情况如下表；,因此，当x=-2时，f(x)有极大值， 并且极大值为f(-2)=28,当x=2时，f(x)有极小值， 并且极小值为f(2)=-4,图象如右,练习1、求函数f(x)=6+12x-x3的极值.,=12-3x2=3(4-x2)=3(2-x)(2+x),一般地,求函数的极值的方法是: 解方程 =0.当 =0时. 如果在x0附近的左侧 右侧 那么,f(x0)是极大值; 如果在x0附近的左侧 右侧 那么,f(x0)是极小值.,即“峰顶”,即“谷底”,例2、已知函数f(x)=ax3+bx2-2x在x=-2,x=1处取得极值： (1)求函数的解析式； (2)求函数f(x)的单调区间。,解：(1) =3ax2+2bx-2,因为f(x)在x=-2,x=1处取得极值， 所以,解得,=3ax2+2bx-2,即,f(x)=ax3+bx2-2x,(2) =x2+x-2,由 0,得x1, 所以f(x)的单调增区间为(-,-2) (1,+),由 0,得-2x1, 所以f(x)的单调减区间为(-2,1),探索: x =0是否为函数f(x)=x3的极值点?,若寻找可导函数极值点,可否只由 f(x)=0求得即可?,f(x)=3x2 当f(x)=0时，x=0，而x=0不是该函数的极值点.,f(x0) =0 x0 是可导函数f(x)的极值点,x0左右侧导数异号 x0 是函数f(x)的极值点 f(x0) =0,注意：f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件,导数值为0的点一定是函数的极值点吗？,例3:已知f(x)=ax5-bx3+c在x= 1处有极值,且极大值为4,极小值为0.试确定a,b,c的值.,解:,由题意, 应有根 ,故5a=3b,于是:,(1)设a0,列表如下:,由表可得 ,即 .,又5a=3b,解得a=3,b=5,c=2.,(2)设a0,列表如下:,由表可得 ,即 .,又5a=3b,解得a=-3,b=-5,c=2.,练习2:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值 为10,求a、b的值.,解: =3x2+2ax+b=0有一个根x=1,故3+2a+b=0.,又f(1)=10,故1+a+b+a2=10.,由、解得 或,当a=-3,b=3时, ,此时f(x)在x=1处无 极值,不合题意.,当a=4,b=-11时,当-11/31时, ,此时x=1是极值点.,从而所求的解为a=4,b=-11.,一般地,求函数的极值的方法是: 解方程 =0.当 =0时. 如果在x0附近的左侧 右侧 那么,f(x0)是极大值; 如果在x0附近的左侧 右侧 那么,f(x0)是极小值.,即“峰顶”,即“谷底”,A,注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别,必做题:,2.函数 在 时有极值10， 则a，b的值为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 以上都不对,C,注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件,注意代入检验,3.求下列函数的极值:,1.函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有极大值， 又有极小值，则a的取值范围为 .,注意：导数与方程、不等式的结合应用,选做题:,略解：,(1)由图像可知：,(2),注意：数形结合以及函数与方程思想的应用,