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1.3.2 极大值与极小值(一),第1章 1.3 导数在研究函数中的应用,学习目标 1.了解函数极值的概念,会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系,并会灵活应用. 2.掌握函数极值的判定及求法. 3.掌握函数在某一点取得极值的条件.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考1,知识点一 函数的极值点和极值,观察yf(x)的图象,指出其极大值点和极小值点及极值.,答案,答案 极大值点为e,g,i,极大值为f(e),f(g),f(i);极小值点为d,f,h,极小值为f(d),f(f),f(h).,思考2,导数为0的点一定是极值点吗?,答案,答案 不一定,如f(x)x3,尽管由f(x)3x20,得出x0,但f(x)在R上是单调递增的,不满足在x0的左、右两侧符号相反,故x0不是f(x)x3的极值点.,(1)极小值点与极小值 若函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小,f(a) ,而且在点xa附近的左侧f(x)0,就把点a叫做函数yf(x)的极小值点,f(a)叫做函数yf(x)的极小值. (2)极大值点与极大值 若函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大,f(b) ,而且在点xb附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,就把点b叫做函数yf(x)的极大值点,f(b)叫做函数yf(x)的极大值. (3)极大值点、极小值点统称为极值点;极大值、极小值统称为 .,梳理,0,0,极值,知识点二 函数极值的求法与步骤,1.求函数yf(x)的极值的方法 解方程f(x)0,当f(x0)0时, (1)如果在x0附近的左侧函数单调递增,即f(x)0,在x0的右侧函数单调递减,即f(x)0,那么f(x0)是 ; (2)如果在x0附近的左侧函数单调递减,即f(x)0,在x0的右侧函数单调递增,即f(x)0,那么f(x0)是 .,极大值,极小值,2.求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域,求导数f(x). (2)求方程 的根. (3)列表. (4)利用f(x)与f(x)随x的变化情况表,根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值.,f(x)0,题型探究,命题角度1 不含参数的函数求极值 例1 求下列函数的极值,并画出函数的草图. (1)f(x)(x21)31;,解答,类型一 求函数的极值点和极值,解 f(x)6x(x21)26x(x1)2(x1)2. 令f(x)0,解得x11,x20,x31. 当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:,当x0时,f(x)有极小值0.,函数的草图如图所示.,解答,令f(x)0,解得xe. 当x变化时,f(x)与f(x)的变化情况如下表:,函数的草图如图所示.,(1)讨论函数的性质时,要树立定义域优先的原则. (2)求可导函数f(x)的极值的步骤 求导数f(x). 求方程f(x)0的根. 观察f(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个方程根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个方程根处取得极小值. 注意:f(x)无意义的点也要讨论,可先求出f(x)0的根和f(x)无意义的点,这些点都称为可疑点,再用定义去判断.,反思与感悟,跟踪训练1 求下列函数的极值. (1)y2x36x218x3;,解答,解 函数的定义域为R. y6x212x186(x3)(x1), 令y0,得x3或x1. 当x变化时,y,y的变化情况如下表:,从上表中可以看出,当x3时,函数取得极大值,且y极大值57. 当x1时,函数取得极小值,且y极小值7.,解 函数的定义域为(,0)(0,),,令y0,得x2或x2. 当x2时,y0;当2x0时,y0. 即x2时,y取得极大值,且极大值为8. 当0x2时,y0;当x2时,y0. 即x2时,y取得极小值,且极小值为8.,解答,命题角度2 含参数的函数求极值 例2 设函数f(x)2x33(a1)x21,其中a1. (1)求f(x)的单调区间;,解答,解 由已知,得f(x)6xx(a1), 令f(x)0,解得x10,x2a1, 当a1时,f(x)6x2, f(x)在(,)上单调递增. 当a1时,f(x)6xx(a1), 列表如下.,从上表可知,函数f(x)在(,0)上单调递增, 在(0,a1)上单调递减,在(a1,)上单调递增.,(2)讨论f(x)的极值,解 由(1)知,当a1时,函数f(x)没有极值. 当a1时,函数在x0处取得极大值1,在xa1处取得极小值1(a1)3.,解答,含参数的函数求极值应从f(x)0的两根x1,x2相等与否入手进行.,反思与感悟,跟踪训练2 已知函数f(x)xaln x(aR). (1)当a2时,求曲线yf(x)在点A(1,f(1)处的切线方程;,因而f(1)1,f(1)1. 所以曲线yf(x)在点A(1,f(1)处的切线方程为 y1(x1),即xy20.,解答,(2)求函数f(x)的极值.,当a0时,f(x)0,函数f(x)为(0,)上的增函数,函数f(x)无极值; 当a0时,令f(x)0,解得xa. 又当x(0,a)时,f(x)0, 从而函数f(x)在xa处取得极小值,且极小值为f(a)aaln a,无极大值. 综上,当a0时,函数f(x)无极值; 当a0时,函数f(x)在xa处取得极小值aaln a,无极大值.,解答,例3 (1)已知函数f(x)x33ax2bxa2在x1处有极值0,求a、b的值;,类型二 已知函数极值求参数,解答,解 f(x)3x26axb,且函数f(x)在x1处有极值0.,当a1,b3时,f(x)3x26x33(x1)20,此时函数f(x)在R上为增函数,无极值,故舍去. 当a2,b9时,f(x)3x212x93(x1)(x3). 当x(,3)时,f(x)0,此时f(x)为增函数;,当x(3,1)时,f(x)0,此时f(x)为增函数. 故f(x)在x1时取得极小值,a2,b9.,(2)若函数f(x) x3x2ax1有极值点,求a的取值范围.,解 f(x)x22xa,由题意,方程x22xa0有两个不等的实数根,所以44a0,解得a1.,解答,引申探究 1.若本例(2)中函数的极大值点是1,求a的值.,解 f(x)x22xa, 由题意得f(1)12a0, 解得a3,则f(x)x22x3,经验证可知,f(x)在x1处取得极大值.,解答,2.若本例(2)中函数f(x)有两个极值点,均为正值,求a的取值范围.,解 由题意,方程x22xa0有两个不等正根,,解答,解得0a1. 故a的取值范围是(0,1).,已知函数极值的情况,逆向应用,确定函数的解析式时,应注意两点 (1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组,利用待定系数法求解. (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后,必须验证根的合理性.,反思与感悟,跟踪训练3 (1)函数f(x)x3ax2bxc的图象如图所示,且与直线y0在原点处相切,函数的极小值为4. 求a,b,c的值;,解答,解 函数图象过原点,c0, 即f(x)x3ax2bx,f(x)3x22axb. 又函数f(x)的图象与直线y0在原点处相切, f(0)0,解得b0, f(x)3x22axx(3x2a).,a3,bc0.,求函数的递减区间.,解答,解 由知,f(x)x33x2,且f(x)3x(x2). 由f(x)0,得3x(x2)0,0x2, 函数f(x)的递减区间是(0,2).,解答,当00,当x1时,f(x)0. f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,)上单调递减, 函数f(x)在x1处取得极大值.,当堂训练,1.函数f(x)x315x233x6的单调减区间为_.,答案,2,3,4,5,1,(1,11),2.函数f(x)的定义域为R,导函数f(x)的图象如图所示,则关于函数f(x)的极值点的说法中,正确的为_.(填序号) 无极大值点,有四个极小值点; 有三个极大值点,两个极小值点; 有两个极大值点,两个极小值点; 有四个极大值点,无极小值点.,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 在xx0的两侧,f(x)的符号由正变负,则f(x0)是极大值;f(x)的符号由负变正,则f(x0)是极小值,由图象易知有两个极大值点,两个极小值点.,3.已知函数f(x)x3ax23x9在x3处取得极值,则a_.,2,3,4,5,1,答案,解析,5,解析 由题意,得f(3)3(3)22a(3)30,所以a5.,4.已知曲线f(x)x3ax2bx1在点(1,f(1)处的切线斜率为3,且x 是yf(x)的极值点,则ab_.,2,3,4,5,1,答案,解析,2,解析 f(x)3x22axb,,5.已知函数f(x)ax2bln x在x1处有极值 . (1)求a,b的值;,2,3,4,5,1,解答,(2)判断f(x)的单调区间,并求极值.,2,3,4,5,1,解答,又f(x)的定义域为(0,), 令f(x)0,解得x1. 列表如下.,2,3,4,5,1,f(x)的单调减区间为(0,1),单调增区间为(1,).,规律与方法,1.在极值的定义中,取得极值的点称为极值点,极值点指的是自变量的值,极值指的是函数值. 2.极值是一个局部概念,它只是某个点的函数值与它附近的函数值比较是最大值或最小值,并不意味着它在整个定义域内是最大值或最小值.可导函数f(x)在点xx0处取得极值的充要条件是f(x0)0且在xx0两侧f(x)符号相反. 3.利用函数的极值可以确定参数的值,解决一些方程的解和图象的交点问题.,本课结束,
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