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第二章 数列,2.4 等比数列,本节主要讲解等比数列概念,等比中项,等比数列的通项公式等知识。利用生活中的实例引入新课,国王赏麦的故事吸引学生注意力,使学生能够更有兴趣。 探究一主要是对等比数列概念的的辨析,借助例题巩固概念。探究二主要是通项公式的推到方法,借助例题加以巩固;探究三主要是研究函数与数列间的关系。 通项公式的推导过程利用视频讲解两种方法。数列与函数的关系应用视频讲解直观,明确,易懂。等比数列的性质用例题和变式加以巩固。,回忆:,一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与前一项的差等于同一个常数,那么这个数列叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差,用d表示。,关于等比数列的小故事,http:/www.jtyhjy.com/edu/ppt/ppt_playVideo.action?mediaVo.resId=55dad550af508f0099b1c79c,比较下列数列,共同特点?,从第2项起,每一项与前一项的比都等于同一常数.,(1),(2),(3),9,92,93,94,95,96, 97,36,360.9,360.92, 360.93,(4),等比数列定义,一般的,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示。,其数学表达式:,(q0),思考:(1)如果an+1=anq(nN+,q为常数),那么数列an是否是等比数列?为什么?,答:不一定是等比数列。这是因为: (1)若an=0,等式an+1=anq对nN+恒成立,但从第二项起,每一项与它前一项的比就没有意义,故等比数列中任何一项都不能为零;,(2)若q=0,等式an+1=anq,对nN+仍恒成立,此时数列an从第二项起均为零,显然也不符合等比数列的定义,故等比数列中的公比q不能为零。,(3)公比q=1时是什么数列?既是等差又是等比数列为非零常数列;,(4) q0数列递增吗?q0数列递减吗?,q=1,常数列;,q0,摆动数列;,注意:,1. 公比是等比数列,从第2项起,每一项与前一项的比,不能颠倒。,2.对于一个给定的等比数列,它的公比是同 一个非零常数。,例1:判别下列数列是否为等比数列? (2)1.2, 2.4 , -4.8 , -9.6 (3)2, 2, 2, 2, (4)1, 0, 1, 0 ,是,不是,是,不是,例2:求出下列等比数列中的未知项. (1) 2,a,8 (2) -4 ,b,c,解得 a=4或a=-4,定义: 如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项。,练习:2与8的等比中项为G,则 G2 =16 , 即:G=4,解:(1)根据题意,得,(2)根据题意,得,变式1:观察如下的两个数之间,插入一个什么数后者三个数就会成为一个等比数列:,(1)1, , 9 (2)-1, ,-4 (3)-12, ,-3 (4)1, ,1,3,2,6,1,解:设这个等比数列为an,其中a11,a54,插入的三项分别为a2,a3,a4. 由题意,得a1,a3,a5也成等比数列, 则aa1a5144, 又a3a1q20, 故a32,a2a3a4a8.,例3:在1和4之间插入三个数,使这五个数成等比数列,求插入的这三个数的乘积,当n=1时,,等比数列的通项公式,(等比数列通项公式),想一想?,证明:,将等式左右两边分别相乘可得:,化简得:,即:,此式对n=1也成立,累乘法,等比数列的通项公式,例4:求下列等比数列的第4,5项:,(2)1.2,2.4,4.8,,(1) 5,-15,45,,解得,因此,,变式2:在等比数列an中,已知 , 求an.,解:设等比数列an的公比为q,由题意得,an+1-an=d,d 叫公差,q叫公比,an+1=an+d,an+1=an q,an= a1+(n-1)d,an=a1qn-1,an=am+(n-m)d,an=amqn-m,数列与函数的关系,例5:根据右图的框图,写出所打印数列的前5项,并建立数列的递推公式.这个数列是等比数列吗?,解:用an 表示题中公比为q的等比数列,由已知条件,有,解得,因此,,例6:一个等比数列的第项和第项分别是12和18,求它的第项和第项,等差数列中有性质:若n+m=p+q则am+an=ap+aq,等比数列有相似的性质吗?,若n+m=p+q, 则bn bm=bp bq,证明:,例7:(1)在等比数列an中,已知a7a125,则a8a9a10a11_. (2)an为等比数列,且a1a964,a3a720,则a11_.,解析:(1)解法一:a7a12a8a11a9a105, a8a9a10a115225. 解法二:由已知得a1q6a1q11aq175, a8a9a10a11a1q7a1q8a1q9a1q10 aq34 (aq17)225.,1 知识点: 等比数列的概念, 通项公式,等比中项的概念. 2 本节课用到的思维策略:观察、分析、归纳、猜想、类比等逻辑思维能力,由特殊到一般的认知规律。 3 数学思想方法:方程的思想,函数的思想。,
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