本 讲 整 合,第二讲 直线与圆的位置关系,答案:圆心角 判定 性质 弦切角 相交弦 割线 切割线 切线长,专题一:与圆有关的角的计算与证明 圆中的角有三类:圆心角、圆周角、弦切角,圆中有关角的计算和证明问题多与这三类角有关,因此圆心角定理、圆周角定理、弦切角定理是解决这类问题的知识基础,求解这类问题时,通常利用圆心角、圆周角、弦切角以及圆弧之间的关系来进行转化,求解中注意运用圆内接四边形的对角互补等性质.,【例1】 如图,锐角三角形ABC内接于O,ABC=60, BAC=40,作OEAB交劣弧 于点E,连接EC,则OEC=( ) A.5 B.10 C.15 D.20,解析:如图,连接OC,ABC=60,BAC=40,ACB=80.,答案:B,变式训练1如图,四边形ABCD是O的内接四边形,延长BC到E.若BCDECD=32,则BOD等于( ) A.120 B.136 C.144 D.150 解析:由BCDECD=32,得ECD=72.由圆内接四边形的性质知A=DCE,所以A=72,故BOD=2A=144. 答案:C,【例2】 如图,D,E分别是ABC的BC,AC边上的点,且ADB=AEB.求证:CED=ABC. 分析:要证明CED=ABC,容易想到圆内接四边形的性质,需证A,B,D,E四点共圆.用圆内接四边形的判定定理不易找到条件,故采用分类讨论来解决.,证明:作ABE的外接圆,则点D与外接圆有三种位置关系:点D在圆外;点D在圆内;点D在圆上. (1)如果点D在圆外,设BD与圆交于点F,如图,连接AF. 则AFB=AEB. 而AEB=ADB, AFB=ADB. 这与“三角形的外角大于任一不相邻的内角”矛盾. 故点D不能在圆外.,(2)如果点D在圆内,设圆与BD的延长线交于F,如图,连接AF, 则AFB=AEB. AEB=ADB, AFB=ADB. 这也与“三角形的外角大于任一不相邻的内角”矛盾. 故点D不可能在圆内. 综上可得,点A,B,D,E在同一圆上.CED=ABC.,变式训练2如图,AB是圆O的直径,C,D是圆O上位于AB异侧的两点.求证:OCB=D. 证明:因为B,C是圆O上的两点,所以OB=OC,故OCB=B. 又因为C,D是圆O上位于AB异侧的两点, 所以B,D为同弧所对的两个圆周角, 所以B=D,因此OCB=D.,专题二:与圆有关的线段的计算与证明 解决与圆有关的线段的计算与证明问题时,首先要考虑利用相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理等,由此获得成比例的线段或相等的线段,然后结合直角三角形中的射影定理、相似三角形的性质等进行等比例代换或等线段代换,从而证得结论,或者建立方程(组),求得未知线段.,【例3】 如图,A,B是两圆的交点,AC是小圆的直径,D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点.已知AC=4,BE=10,且CB=AD,求DE的长. 分析:先由割线定理求出CB的长度,从而得出CD,CE的长度,再证明CDE为直角三角形,利用勾股定理求得DE的长度.,解:设CB=AD=x,则由割线定理,得CACD=CBCE, 即4(4+x)=x(x+10), 化简得x2+6x-16=0,解得x=2或x=-8(舍去), 从而CD=4+2=6,CE=2+10=12. 连接AB,因为CA为小圆的直径,所以CBA=90, 即ABE=90, 则由圆的内接四边形对角互补,得D=90, 即CDE是直角三角形,则CD2+DE2=CE2, 所以62+DE2=122,解得DE=,反思感悟在圆中解决计算问题时,要注意将相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理与射影定理、勾股定理、相似三角形等知识结合起来综合求解.,变式训练3如图,AT切O于T.若AT=6,AE=3,AD=4,DE=2,则BC等于( ) A.3 B.4 C.6 D.8 解析:AT为O的切线,AT2=ADAC. 又AT=6,AD=4,AC=9. ADE=B,EAD=CAB, EADCAB,答案:C,【例4】 如图,EP交圆于E,C两点,PD切圆于D,G为CE上一点,且PG=PD,连接DG并延长交圆于点A,作弦ABEP,垂足为F. (1)求证:AB为圆的直径; (2)若AC=BD,求证:AB=ED. 分析:对于(1),可利用弦切角与圆周角的关系及等腰三角形的底角相等证BDA=90;对于(2),应先证明BDAACB,再证明DCE=90即可.,证明:(1)因为PD=PG,所以PDG=PGD. 又PD为切线,所以PDA=DBA. 因为PGD=EGA,所以DBA=EGA, 所以DBA+BAD=EGA+BAD, 从而BDA=PFA. 因为AFEP,所以PFA=90,于是BDA=90, 故AB是圆的直径. (2)连接BC,DC. 因为AB是直径,所以BDA=ACB=90. 在RtBDA与RtACB中,AB=BA,AC=BD, 从而RtBDARtACB,于是DAB=CBA. 又因为DCB=DAB,所以DCB=CBA, 故DCAB.因为ABEP, 所以DCEP,DCE为直角,于是ED为直径. 因为AB和ED都是圆的直径,所以ED=AB.,反思感悟本题(1)充分借助对顶角相等、弦切角与圆周角的转化及等腰三角形两底角的关系,实现了角的关系传递.在证明此类问题时,要充分挖掘题设条件所含有的信息,实现题设条件同结论的合理转化.另外证明线段相等的方法较多,而本例巧借第(2)问的结论,实现问题转化,从而把“线段相等问题”转化为“DCE=90”的问题.,变式训练4如图,点A为圆外一点,过点A作圆的两条切线,切点分别为B,C,ADE是圆的割线,连接CD,BD,BE,CE. (1)求证:BECD=BDCE; (2)延长CD交AB于点F,若CEAB,证明:F为线段AB的中点.,证明:(1)由题意可知ACD=AEC,CAD=EAC,考点1:圆周角问题 1.(课标全国高考)如图,O中 的中点为P,弦PC,PD分别交AB于E,F两点. (1)若PFB=2PCD,求PCD的大小; (2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G,证明OGCD.,解:(1)连接PB,BC, 则BFD=PBA+BPD,PCD=PCB+BCD.,所以PBA=PCB. 又BPD=BCD, 所以BFD=PCD. 又PFB+BFD=180,PFB=2PCD, 所以3PCD=180, 因此PCD=60. (2)因为PCD=BFD, 所以EFD+PCD=180, 由此知C,D,F,E四点共圆,其圆心既在CE的垂直平分线上,又在DF的垂直平分线上,故G就是过C,D,F,E四点的圆的圆心, 所以G在CD的垂直平分线上. 又O也在CD的垂直平分线上,因此OGCD.,2.(课标全国高考)如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于点D. (1)证明:DB=DC; (2)设圆的半径为1, ,延长CE交AB于点F,求BCF外接圆的半径.,(1)证明:连接DE,交BC于点G.由弦切角定理,得ABE=BCE. 而ABE=CBE,故CBE=BCE,BE=CE. 又因为DBBE, 所以DE为直径,DCE=90, 由勾股定理可得DB=DC. (2)解:由(1)知,CDE=BDE,DB=DC,考点2:圆内接四边形问题 3.(湖南高考)如图,在O中,相交于点E的两弦AB,CD的中点分别是M,N.直线MO与直线CD相交于点F. 证明:(1)MEN+NOM=180; (2)FEFN=FMFO. 证明:(1)如图,因为M,N分别是弦AB,CD的中点, 所以OMAB,ONCD, 即OME=90,ENO=90, 因此OME+ENO=180. 又四边形的内角和等于360, 故MEN+NOM=180. (2)由(1)知,O,M,E,N四点共圆,故由割线定理即得FEFN=FMFO.,4.(课标全国高考)如图,OAB是等腰三角形,AOB=120,以O为圆心, OA为半径作圆. (1)证明:直线AB与O相切; (2)点C,D在O上,且A,B,C,D四点共圆,证明:ABCD.,解:(1)设E是AB的中点,连接OE. 因为OA=OB,AOB=120, 所以OEAB,AOE=60. 在RtAOE中,OE= AO, 即O到直线AB的距离等于O半径, 所以直线AB与O相切. (2)因为OA=2OD,所以O不是A,B,C,D四点所在圆的圆心. 设O是A,B,C,D四点所在圆的圆心,作直线OO. 由已知得O在线段AB的垂直平分线上, 又O在线段AB的垂直平分线上,所以OOAB. 同理可证,OOCD.所以ABCD.,考点3:切割线问题 5.(天津高考)如图,AB是圆的直径,弦CD与AB相交于点E,BE=2AE=2, BD=ED,则线段CE的长为 .,6.(重庆高考)如图,圆O的弦AB,CD相交于点E,过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P,若PA=6,AE=9,PC=3,CEED=21,则BE= . 解析:因为PA是圆的切线,所以PA2=PCPD,答案:2,考点4:切线问题 8.(广东高考)如图,已知AB是圆O的直径,AB=4,EC是圆O的切线,切点为C,BC=1,过圆心O作BC的平行线,分别交EC和AC于点D和点P,则OD= .,答案:8,9.(重庆高考)如图,在ABC中,C=90,A=60,AB=20,过C作ABC的外接圆的切线CD,BDCD,BD与外接圆交于点E,则DE的长为 .,答案:5,10.(课标全国高考)如图,AB是O的直径,AC是O的切线,BC交O于点E. (1)若D为AC的中点,证明:DE是O的切线; (2)若OA= CE,求ACB的大小.,解:(1)连接AE,由已知得,AEBC,ACAB. 在RtAEC中,由已知得,DE=DC,故DEC=DCE. 连接OE,则OBE=OEB. 又ACB+ABC=90, 所以DEC+OEB=90, 故OED=90,DE是O的切线.,11.(江苏高考)如图,AB为半圆O的直径,直线PC切半圆O于点C, APPC,P为垂足. 求证:(1)PAC=CAB; (2)AC2=APAB. 证明:(1)因为PC切半圆O于点C, 所以PCA=CBA. 因为AB为半圆O的直径, 所以ACB=90. 因为APPC,所以APC=90. 因此PAC=CAB. (2)由(1)知,APCACB,故 , 即AC2=APAB.,