第三章 3.3 直线的交点坐标与距离公式,3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条平行直线间的距离,学习目标,1.掌握点到直线的距离公式，会用公式解决有关问题. 2.掌握两平行线之间的距离公式，并会求两平行线之间的距离.,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,栏目索引,知识梳理 自主学习,知识点一 点到直线的距离 1.概念：过一点向直线作垂线，则该点与 之间的距离，就是该点到直线的距离. 2.公式：点P(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d . 思考 在使用点到直线的距离公式时，对直线方程的形式有什么要求？,答案,答 点到直线的距离公式只适用直线方程的一般式.,垂足,知识点二 两平行直线间的距离 1.概念：夹在两条平行直线间的 的长度就是两条平行直线间的距离. 2.公式：两条平行直线l1：AxByC10与l2：AxByC20之间的距 离d .,答 两条平行直线的方程都是一般式，并且x，y的系数分别对应相等.,答案,返回,公垂线段,题型探究 重点突破,题型一 点到直线的距离 例1 求过点P(1，2)且与点A(2，3)，B(4，5)的距离相等的直线l的方程.,解析答案,反思与感悟,解 方法一 由题意知kAB4，线段AB的中点为C(3，1)， 所以过点P(1，2)与直线AB平行的直线方程为y24(x1)， 即4xy60.此直线符合题意.,即3x2y70.此直线也符合题意. 故所求直线l的方程为4xy60或3x2y70. 方法二 显然所求直线的斜率存在， 设直线方程为ykxb，,解析答案,反思与感悟,反思与感悟,即4xy60，或3x2y70.,1.求点到直线的距离，首先要把直线方程化成一般式方程，然后再套用点到直线的距离公式. 2.当点与直线有特殊位置关系时，也可以用公式求解，但是这样会把问题变复杂了，要注意数形结合. 3.几种特殊情况的点到直线的距离： (1)点P0(x0，y0)到直线ya的距离d|y0a|； (2)点P0(x0，y0)到直线xb的距离d|x0b|.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练1 若点(a，2)到直线l：yx3的距离是1，则a_.,解析 直线l：yx3可变形为xy30.,解析答案,题型二 两平行线间的距离 例2 求与直线l：5x12y60平行且到l的距离为2的直线的方程.,反思与感悟,解 方法一 设所求直线的方程为5x12ym0， 两直线间的距离为2，,m32或m20. 所求直线的方程为5x12y320或5x12y200. 方法二 设所求直线的方程为5x12yc0.,解析答案,反思与感悟,所求直线的方程为5x12y320或5x12y200.,反思与感悟,反思与感悟,1.针对这个类型的题目一般有两种思路： (1)利用“化归”思想将两平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.,2.当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决. (1)两直线都与x轴垂直时，l1：xx1，l2：xx2， 则d|x2x1|； (2)两直线都与y轴垂直时，l1：yy1，l2：yy2， 则d|y2y1|.,解析答案,跟踪训练2 直线l1过点A(0，1)，l2过点B(5，0)，如果l1l2，且l1与l2间的距离为5，求l1，l2的方程.,解析答案,解 若直线l1，l2的斜率存在，设直线l1与l2的斜率为k， 由斜截式得l1的方程为ykx1，即kxy10； 由点斜式可得l2的方程为yk(x5)， 即kxy5k0. 在直线l1上取点A(0，1)，,l1的方程为12x5y50， l2的方程为12x5y600.,若直线l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x0，l2的方程为x5， 它们之间的距离为5，满足条件. 则满足条件的直线方程有以下两组： l1：12x5y50，l2：12x5y600； l1：x0，l2：x5.,解析答案,题型三 距离公式的综合应用,(1)求a的值；,因为a0，所以a3.,解析答案,反思与感悟,解析答案,解 设存在点P(x0，y0)满足， 则点P在与l1，l2平行的直线l：2xyc0上，,反思与感悟,即|2x0y03|x0y01|. 所以x02y040或3x020.,反思与感悟,因为点P在第一象限，所以3x020不可能.,反思与感悟,解决探究性问题时，可先假设需探究的问题存在，以此为出发点寻找满足的条件.若求出的结论符合要求，则问题有解.若求出的结论与要求不符，则说明原探究问题无解.另外，运用公式解决问题要注意适用的范围及使用特点.,解析答案,跟踪训练3 已知A(4，3)，B(2，1)和直线l：4x3y20，求一点P，使PAPB，且点P到直线l的距离等于2.,解析答案,解 方法一 设点P的坐标为P(a，b)， 由PAPB，得(4a)2(3b)2(2a)2(1b)2， 化简，得ab5.,解析答案,方法二 设点P的坐标为P(a，b)， 因为A(4，3)，B(2，1)，所以线段AB中点M的坐标为(3，2).,所以线段AB的垂直平分线方程为y(2)x3， 即xy50. 而点P(a，b)在直线xy50上， 故ab50， ,数形结合思想,数学思想,例4 两条互相平行的直线分别过A(6，2)和B(3，1)两点，如果两条平行直线间的距离为d，求： (1)d的取值范围； (2)当d取最大值时，两条直线的方程.,解析答案,解后反思,分析 由于平行线的倾斜角不同，两平行线间的距离不同，故可以利用几何图形探索d的取值变化情况.,解析答案,解后反思,解后反思,故所求的直线方程分别为y23(x6)和y13(x3)， 即3xy200和3xy100.,解后反思,通过数形结合，运用运动变化的方法，把握住题中的已知点不动，而两条平行线可以绕点转动，我们很容易直观感受到两平行线间距离的变化情况，从而求出两平行线间的距离的取值范围.,解析答案,解后反思,返回,忽略斜率不存在的情形致误,易错点,例5 求经过点A(1，2)，且到原点的距离等于1的直线方程.,分析 当直线的斜率不存在时，直线方程为x1，验证此直线到原点的距离是否等于1；当斜率存在时可设为y2k(x1)，利用点到直线的距离公式求k. 解 当过点A的直线垂直于x轴时， 因为它到原点的距离等于1， 所以满足题设条件，其方程为x10； 当过点A的直线不垂直于x轴时， 设所求的直线方程为y2k(x1)， 即kxyk20.,解析答案,解后反思,因为原点到此直线的距离等于1，,解后反思,综上，所求直线的方程为x10或3x4y50.,解后反思,返回,本题易出现的错误是直接利用点斜式设出方程，由点到直线的距离得方程求k，漏掉了直线x1.用直线的点斜式方程来解题，一定要考虑斜率不存在的情况，对于斜率不存在的特殊直线，很多情况也符合题意.,当堂检测,1,2,3,4,5,解析答案,1.P，Q分别为直线3x4y120与6x8y60上任意的点，则|PQ|的最小值为( ),解析 将6x8y60化为3x4y30，,C,则|PQ|mind3.,解析答案,2.若点(4，a)到直线4x3y1的距离不大于3，则a的取值范围是( ),A,C.(0，10) D.(，010，),1,2,3,4,5,153a1515，0a10.,1,2,3,4,5,解析答案,3.若点P到直线5x12y130和直线3x4y50的距离相等，则点P的坐标应满足的方程是( ) A.32x56y650或7x4y0 B.x4y40或4x8y90 C.7x4y0 D.x4y40,A,解析 设点P的坐标为(x，y)，,整理得32x56y650或7x4y0.,解析答案,4.分别过点A(2，1)和点B(3，5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是_.,1,2,3,4,5,解析 d|3(2)|5.,5,1,2,3,4,5,解析答案,5.与直线l1：3x2y60和直线l2：6x4y30等距离的直线方程是_.,所以l1与l2平行， 设与l1，l2等距离的直线l的方程为3x2yc0，,所以l的方程为12x8y150.,12x8y150,课堂小结,2.两条平行线间的距离处理方法有两种： 一是转化为点到直线的距离，其体现了数学上的转化与化归思想.,返回,