特殊平行四边形 菱形,第八章 证明（三）,回顾旧知,菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.,菱形的性质1：菱形的四条边都相等； 菱形的性质2：两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.,菱形的性质,定理:菱形的四条边都相等.,已知:如图,四边形ABCD是菱形.,求证:AB=BC=CD=DA.,证明:,四边形ABCD是菱形,AB=AD,四边形ABCD是平行四边形,AB=CD,AD=BC,AB=BC=CD=AD,菱形的性质,定理:菱形的两条对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角.,已知:如图,AC、BD是菱形ABCD的两条对角线,AC、BD相交于点O.,求证: (1)ACBD; (2)AC平分BAD和BCD, BD平分ADC和ABC.,证明:(1),四边形ABCD是菱形,AD=CD,AO=CO,DO=DO,AODCOD(SSS),AOD=COD,ACBD,菱形的性质,或四边形ABCD是菱形,AD=CD,AO=CO,ACBD（等腰三角形 三线合一）,AOD+COD=1800,AOD=900,菱形的性质,或四边形ABCD是菱形,AD=AB又ACBD,AC平分BAD （等腰三角形三线合一） 同理可得AC平分BCD,BD平分ADC和ABC.,(2)四边形ABCD是菱形, AD=AB又ACBD，AO=AO,RtAODRtAOB(HL),DAO=BAO即AC平分BAD 同理可得AC平分BCD,BD平分ADC和ABC.,菱形性质的应用,已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm. 求:(1)对角线AC的长度; (2)菱形ABCD的面积.,解:(1) 四边形ABCD是菱形,AED=900,AC=2AE=212=24(cm),菱形性质的应用,菱形性质的应用,(2)菱形ABCD的面积 =ABD的面积+CBD的面积,=2ABD的面积,菱形的面积等于其对角线乘积的一半.,已知菱形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O,且AC=8cm,BD=6cm，求菱形的周长和面积,菱形性质的应用,解：四边形ABCD是菱形,AOD=900,菱形ABCD的周长=54=20（cm）,菱形的判别方法:,一组邻边相等的平行四边形是菱形. 四条边都相等的四边形是菱形. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.,菱形的判定,定理:四条边都相等的四边形是菱形.,已知:如图,在四边形ABCD中, AB=BC=CD=DA.,求证:四边形ABCD是菱形.,证明:,AB=BC=CD=DA,AB=CD,BC=DA.,四边形ABCD是平行四边形,AB=AD,四边形ABCD是菱形,菱形的判定,定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.,已知:如图,在ABCD中,对角线ACBD.,求证: ABCD是菱形.,证明:,四边形ABCD是平行四边形,AO=CO,又ACBD, DA=DC, ABCD是菱形,(线段垂直平分线上的点 到线段两端点的距离相等),已知:AD是ABC的角平分线,DEAC交AB于点E，DFAB交AC于点F. 求证：四边形AEDF是菱形.,学以致用,学以致用,证明:,DEAC,DFAB,四边形AEDF是平行四边形,DEAC,ADE=DAF,AD是ABC的角平分线,DAE=DAF,DAE=ADE,AE=ED, AEDF是菱形,学以致用,已知:菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且BE=DF. 求证：AEF=AFE,学以致用,证明:,四边形ABCD是菱形,AB=AD,B=D,BE=DF,ABEADF(SAS),AE=AF,AEF=AFE,今天你收获了什么？,1、菱形的性质及证明 2、菱形的判定及证明 3、菱形的性质与判定的应用,习题8.5,作业：,条理清晰，因果相应,言必有据,是初学证明者谨记和遵循的原则.,结束寄语,