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,4.2 单位圆与周期性,第一章 三角函数,课前自主学习,1明确正弦线、余弦线、正切线的画法 2能够作出已知角的正弦线、余弦线和正切线 3. 能够利用三角函数线比较函数值的大小.,学习要求,1单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以为_圆心,_为半径的圆为单位圆 2有向线段的概念:_的线段称为有向线段,原点O,单位长度,带有方向,自学导引,自学导引,3.设任意角 的顶点在原点 ,始边与 轴非负半轴重合,终边与单位圆相交与点P ,过P 作 X轴的垂线 ,垂足为M ;过点 A(1,0)作 单位圆的切线,它与角 的终边或其反向延长线交与点 T. 当角 的终边不在坐标轴上时,我们就分别称有向线段 为正弦线、余弦线、正切线,统称为三角函数线.,MP、OM、AT,自主探究,1.在初中,我们知道锐角三角函数可以看成线段的比,那么,任意角的三角函数是否也可以看成是线段的比呢?,不能,因为任意角的三角函数有正负.,自主探究,2.在三角函数定义中,是否可以在角 的终边上取一个特殊点使得三角函数值的表达式更为简单?,可以,特殊点取角的终边与单位圆的交点.,自主探究,3.如何作正弦线、余弦线、正切线?,有向线段MP、OM、AT分别叫做角的正弦线,余弦线,正切线.,(),(),(),(),自主探究,4.当角的终边在坐标轴上时,角的正切线的几何含义如何?,当角的终边在x轴上时,角的正切线是一个点; 当角的终边在y轴上时,角的正切线不存在.,自主探究,11,1对三角函数线,下列说法正确的是( ) A对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在 C任何角的正弦线、正切线总是存在,但余弦线不一定存在 D任何角的正弦线、余弦线总是存在,但是正切线不一定存在,预习测评,解析:当角的终边落在Y轴上时,正切线不存在,故选D.,D,2如果 MP 和 OM 分别是角 的正弦线和余弦线,那么下列结论中正确的是( ),预习测评,D,解析:作出角 的正弦线和余弦线,根据图形可知,MP为正值,OM为负值,故选D.,3利用余弦线,比较 的大小关系为( ). A. B. C. D. 无法比较,预习测评,解析:分别作出两个角的余弦线,方向都是正方向,再比较两条余弦线的长度,故选B.,B,课堂讲练互动,1单位圆的定义 圆心在坐标原点 ,半径等于单位长度的圆叫做单位圆,要点阐释,正弦线为 的终边与单位圆的交点到X 轴的垂直线段;余弦 线在X 轴上; 正切线在 过单位圆与 X轴正方向的交点的切线上,三条有向线段中两条在单位 圆内,一条在单位圆外.,2.三角函数线的位置:,要点阐释,三条有向线段与 Y轴或X 轴同向的为正值,与 Y轴或X 轴反向的为负值.,3.三角函数线的正负:,要点阐释,4正切线 正切线AT的作法:过定点A(1,0) 作单位圆的切线,它与角 的终边或其反向延长线交与点T 当角 是第一、四象限角时,点T在角 的终边上, 当角 是第二、三象限角时,点T在角 的终边的反向延长线上, 当角终边在Y轴上时,角 的正切线不存在.,要点阐释,5.根据三角函数线比较三角函数值的大小 根据三角函数线比较三角函数值的大小,一般先根据有向线段的方向判断正负,再比较有向线段的长度.有向线段与坐标轴方向同向的为正值,反向的为负值.,要点阐释,例1、分别作出下列角的正弦线、余弦线、正切线.,x,Page 20,典例剖析,题型一 作已知角的三角函数线,点评:根据三角函数线的定义作出三角函数线,有向线段 MP、OM、AT为正弦线、余弦线、正切线.关键是作出各个点,O点为坐标原点,点A(1,0)为单位圆与X正半轴的交点,点P为任意角 的终边与单位圆的交点P(x,y),过P作X 轴的垂线 ,垂足为M ;过点A(1,0)作 单位圆的切线,它与角 的终边或其反向延长线交与点T .,1角(02)的正、余弦线的长 度相等,且正、余弦符号相异那么的值为( ) A B C D 或,D,解析:角(02)的正、余弦线的长度相等,可知角终边为象限角平分线,再根据正、余弦符号相异可得角终边为第二、四象限角平分线,故选D.,y,P1,P2,x,o,A,T1,M1,M2,T2,例2.利用三角函数线比较三角函数值的大小,(1),(2),(3),Page 24,解:,题型二 利用三角函数线比较函数值的大小,点评:三角函数线是一个角的三角函数直观体现,从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负,其长度是三角函数值的绝对值因此,比较两个三角函数值的大小,可以借助三角函数线,2比较下列各组数的大小,(1)sin1和sin (2)cos 和cos,解析:(1)sin1sin (2)cos cos,题型三 利用三角函数线求角的范围,例3 在0 内,求使 成立的的取值.,分析:先作出直线 ,与单位圆有两个不同的交点 、 ,则满足条件的终边有两个 ,分别是 、 .,题型三 利用三角函数线求角的范围,解析:如图所示,先作出直线 ,与单位圆有两个不同的交点P1、P2,则满足条件的终边有两个 ,分别是 OP1、OP2,在 内,的值 为 .,若0 .利用三角函数线,得到 的取值范围是( ) A B C D,解析:A明显范围不对,B、C都不全面,故选D.,D,误区解密:,因忽略有向线段的方向而出错,正解:B,错解:A,错因分析:错解没有注意到角的取值范围,当 时, 为正值最大, 均为负值, 最小 ,正弦线、余弦线、正切线,它们分别是正弦、余弦、正切函数的几何表示,三角函数线是有向线段,在用字母表示这些线段时,注意它们的方向,纠错心得:,作三角函数线的具体步骤如下: 1) 画单位圆,,2) 设的终边与单位圆交于点P,作PMx轴于M,则有向线段MP是正弦线.,3) 有向线段OM是余弦线.,4) 设单位圆与x轴的非负半轴交于点A(1,0),过点A作垂线与角的终边(或其反向延长线)交于点T,则有向线段AT就是正切线.,课堂总结,
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