2.3.1 直线与平面垂直的判定,思考,（1）一条直线l与平面内一条直线垂直可以判断 直线l与平面垂直吗？,（2）一条直线l与平面内无数条直线垂直呢？,l,a,A,B,C,B,C,AB，则旗杆AB所在的直线与地面任意一条直线都垂直,1、如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说 直线l与平面互相垂直. 2、表示为：l .,直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面.,直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足.,阳光下的旗杆与影子的关系：,ABBC，BCBC ，AB BC,3、直线l与平面垂直的画法：,通常地直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直。,思考：是否把平面中的直线一一找出，才能 证明直线与平面垂直？,定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。,表示为：,l,例1 一旗杆高8m，在它的顶点处系两条长10m的绳子，拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两点（与旗杆脚不在同一直线上）。如果这两点与旗杆脚距6m，那么旗杆就与地面垂直。为什么？,分析： （1）两点与旗杆脚确定的平面就是地面。 （2）能否在平面上找出两条相交直线，使得旗杆与它们垂直,解：如图，旗杆PO=8m，两绳长PA=PB=10m，OA=OB=6m 因为A，O，B三点不共线， 所以A，O，B三点确定平面（即地面所在面） 又因为PO2+OA2=PA2，PO2+OB2=PB2， 所以OPOA ，OPOB. 又因为OAOB=O， 所以OP. 因此，旗杆OP与地面垂直.,例2 如图，已知ab,a, 求证b.,分析：能否在平面内找出两条相交直线，使得b与它们垂直？,证明：在平面内作两条 相交直线m，n.,因为直线a，根据直线与平面垂直的定义知 am，an. 又因为 ba， 所以 bm，bn. 又 m ， n ，m， n是两条相交直线， 所以 b,练习,1、如图，已知OA、OB、OC两两垂直 （1）求证：OA平面OBC （2）求证：OABC,B,C,O,A,分析：（1）要证OA平面OBC， 必须在平面OBC中找出两条 与OA垂直的相交直线。因 为OA、OB、OC两两垂直 OAOB、OAOC. OAOC，且OBOC=O. （2）OA平面OBC，OA 垂直平面内任意一条直线.,证明：（1）OA、OB、OC两两垂直 OAOB，OAOC， 又OBOC=O OA平面OBC,（2） OA平面OBC BC 平面OBC OABC,练习,2、如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC， 求证VBAC.,A,B,C,V,分析：（1）要证线线垂直，首先证线面垂直 （2）ACVB所在的面，应该 是哪一个面？ 给出VA=VC，AB=BC可 以知道VAC与BAC都是 等腰三角形,证明：取AC的中点D，连结DV、DB,D,VA=VC，AB=BC VAC与BAC都是等腰三角形 ACDV ACDB DVDB=O AC平面VDB ACVB,小结,1、要证线面垂直（根据定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。）,2、要证线线垂直（可先证一条直线与另一条直线所在的面垂直，再得到线线垂直。）,作业：,有平行四边形ABCD ，已知lAB，lBC. 求证：l直线AD.,课后思考：P70.探究,