2.2.2 向量减法运算及其几何意义,【知识提炼】 1.相反向量,相等,相反,2.向量的减法 (1)定义：a-b=_.减去一个向量就等于加上这个向量的_ _. (2)几何意义：a-b表示为从向量b的终点指向_的向量.,a+(-b),相反,向量,向量a的终点,【即时小测】 1.思考下列问题. (1)若a-d=c-b，则a+b=c+d成立吗？ 提示：成立，移项法则对向量等式成立. (2)两个相反数的和为零，那么两个相反向量的和也为零吗？ 提示：两个相反向量的和是零向量.,2.非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是( ) A.m=n B.m=-n C.|m|=|n| D.方向相反 【解析】选A.非零向量m与n是相反向量，则长度相等，方向相反，则有m=-n，|m|=|n|.,3.在平行四边形ABCD中， =_. 【解析】由于向量 与 互为相反向量，所以 答案：0,4.化简： =_. 【解析】 答案：0,5.四边形ABCD是边长为1的正方形，则| |=_. 【解析】| |=| |= 答案：,【知识探究】 知识点1 相反向量 观察如图所示内容，回答下列问题： 问题1：相反向量与方向相反的向量的区别是什么？ 问题2：两个向量互为相反向量应具备哪些条件？有哪些性质.,【总结提升】 1.相反向量的意义 (1)在相反向量的基础上，可以通过向量的加法定义向量的减法. (2)为向量的“移项”提供依据，如a+b=c+d，可得a-d=c-b.,2.对相反向量的两点说明 (1)相反向量与方向相反的向量不是同一个概念，相反向量是方向相反，模长相等的两个向量. (2)两个非零向量a，b互为相反向量应具备的条件：一是长度相等，二是方向相反，两者缺一不可.,知识点2 向量的减法 观察如图所示内容，回答下列问题： 问题1：作两个向量的差向量的前提是什么？如何求作a-b？ 问题2：差向量a-b的“箭头”指向有何特点？,【总结提升】 1.向量减法法则的两点说明 (1)向量的减法法则有着丰富的几何背景：当a，b不共线时，a，b与a-b围成一个三角形；当a，b共线时，a，b与a-b不能围成一个三角形.(2)向量的加法与向量的减法互为逆运算，可以灵活转化，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.,2.透析差向量的作法 (1) =a-b，强调：差向量“箭头”指向被减向量. (2)可以用向量减法的三角形法则作差向量，也可以用向量减法定义a-b=a+(-b)作差向量. (3)作非零向量a，b的差向量a-b，可以简单记为：“共起点，连终点，指向被减”.,【题型探究】 类型一 向量的减法运算 【典例】1.向量 可以写成： 其中正确的是_(填上序号). 2.化简：(1)( )-( ). (2)( )-( ),【解题探究】1.典例1中，两起点相同的向量相减，差向量方向如何确定？ 提示：两起点相同的向量相减，差向量指向被减向量. 2.典例2中，向量加减混合运算时，应该用向量加法的交换律和结合律变形出哪些形式？ 提示：变形出两种形式：一是向量相加首尾相接的形式，二是向量相减共起点的形式.,【解析】1.因为 ， 所以，正确. 答案： 2.(1)( )-( )= =( )+( )= =0. (2)( )-( ),【方法技巧】 1.向量减法运算的常用方法,2.向量加减法化简的两种形式 (1)首尾相连且为和. (2)起点相同且为差. 解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用.,【变式训练】1.下列四式不能化简为PQ的是( ) A. B. C. D.,【解析】选D.,2.化简 的结果是_ 【解析】将能够首尾相连的或变号后能首尾相连的放在一起运算，即 答案：,类型二 向量减法及其几何意义 【典例】1.如图所示，D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则 等于( ),2.如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a+b-c.,【解题探究】1.典例1中，与向量 相等的向量有哪些？与解决本题相关的是哪个向量？ 提示：与向量 相等的向量有 ， 与解决本题相关是 . 2典例2中，两向量差与和的作图依据是什么？ 提示：两向量差的作图依据是向量减法的几何意义及三角形法则；两向量和的作图依据是三角形法则和平行四边形法则.,【解析】1.选D.由题图可知 ，则 .又由三角形中位线定理知 2.方法一：如图，在平面内任取一点O，作 =a， =b，则 =a+b，再作 =c，则 =a+b-c.,方法二：如图，在平面内任取一点O，作 =a， =b，则 =a+b，再作 =c，连接OC，则 =a+b-c.,【延伸探究】 1.(改变问法)若本例2中条件不变，则a-b-c如何作？ 【解析】如图，在平面内任取一点O，作 =a， =b，则 =a-b.再作 =c，则 =a-b-c.,2.(变换条件)若本例2中的向量a，b，c如图所示，则结果如何？,【解析】在平面内任取一点O，作 =a， =b， =c.由向量加法的平行四边形法则得 =a+b； 由向量的减法法则得 =a+b-c. 所以 就是所要求作的向量a+b-c(如图所示),【方法技巧】求作两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法来进行，如a-b，可以先作-b，然后作a+(-b)即可.(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量.,【补偿训练】已知向量a，b，c与d，如图(1)所示，求a-b，c-d.,【解析】如图(2)作 =a， =b，作BA， 则a-b= ，作 =c， =d， 作 ，则c-d=,类型三 利用已知向量表示未知向量 【典例】如图所示，解答下列各题： (1)用a，d，e表示 (2)用b，c表示 (3)用a，b，e表示 (4)用c，d表示,【解题探究】本例中，利用已知向量表示未知向量的解题依据是什么？ 提示：三角形法则和平行四边形法则,【解析】(1) =d+e+a=a+d+e. (2) =-b-c. (3) =a+b+e. (4) =-c-d.,【方法技巧】用向量表示其他向量的方法 (1)解决此类问题要充分利用平面几何知识，灵活运用平行四边形法则和三角形法则 (2)表示向量时要考虑以下问题：它是某个平行四边形的对角线吗？是否可以找到由起点到终点的恰当途径？它的起点和终点是否是两个有共同起点的向量的终点？ (3)必要时可以直接用向量求和的多边形法则.,【变式训练】如图，在正六边形ABCDEF中，O为中心，若 =a， =b，用向量a，b表示向量,【解析】方法一：在OAFE中，OF为对角线，且OA，OF，OE起点相同，应用平行四边形法则， 得 =a+b.因为 ，所以 =-a-b. 而 =-b， =-a， 所以 =-b， =-a-b， =-a.,方法二：由正六边形的几何性质，得 =-a， =-b， =-a. 在OBC中， =-a-b. 方法三：由正六边形的几何性质，得 =-b， =-a. 在OBCD中， =-a-b.,【补偿训练】如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC，BD的交点， 设 =a， =b， =c， 求证：b+c-a=,【证明】因为b+c= 而 +a= 所以b+c= +a，即b+c-a=,【延伸探究】若本题中，令 =a， =b， =c，又如何求证c+a-b= 呢？ 【解析】因为c+a= 而b+ 所以c+a=b+ ，即c+a-b=,易错案例 向量和、差的运算 【典例】(2015衡水高一检测)如图，已知O为平行四边形ABCD内一点， =a， =b， =c，则 =_(用a，b，c)表示.,【失误案例】,【错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？ 提示：错误的根本原因是忽视几何图形的性质和相等向量的定义及在处理向量减法时字母顺序出错，导致错误.,【自我矫正】因为 所以 所以 =a-b+c. 答案：a-b+c,【防范措施】向量加减法的几何意义的两个关注点 (1)重视向量知识与平面几何知识的结合：利用平面几何中线线平行、线段相等可以推出向量共线，向量相等等结论，为向量的运算提供依据.如本例中 (2)记准向量减法的几何意义：根据向量减法的几何意义作两个向量差的基本步骤是：作平移，共起点，两尾连，指被减.如本例中,