,专题3 解题策略,第3讲 换元法在解题中的应用,一般而言，在数学问题中，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这种方法称为换元法某些数学问题通过这种换元，往往可以暴露已知与未知之间被表面形式覆盖着的实质，发现解题途径换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理,方法精要,换元法又称辅助元素法、变量代换法，其特点是通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，把条件与结论联系起来，把陌生的形式转变为熟悉的形式高中数学中主要换元法有整体换元、三角换元、对称换元、均值换元等等换元法应用广泛，如解方程、解不等式、证明不等式、求函数的值域、求数列的通项与和等，在解析几何中也有广泛的应用,典例剖析,精题狂练,典例剖析,题型一 换元法求函数的解析式,题型二 换元法在不等式中的应用,题型三 换元法在三角函数中的应用,题型一 换元法求函数的解析式,破题切入点 通过引入参数，令1cos xt，将原式转化为含有t的式子，从而得到函数f(x)的表达式，特别注意写出函数f(x)的定义域,例1 已知f(1cos x)sin2x，求f(x),解 令1cos xt，则t0,2，所以cos x1t， 所以f(t)sin2x1cos2x1(1t)2t22t， 所以f(x)x22x(0x2).,破题切入点 换元法在不等式中的应用主要体现在不等式的证明中，把原不等式中的参数用某一个或几个量表示，然后利用取值范围进行比较,题型二 换元法在不等式中的应用,其中t1t2t30，,题型二 换元法在不等式中的应用,破题切入点 题目中的未知量较多，解题时选择适当的三角函数式作为辅助未知量，可以利用正弦与余弦之间的关系，设sin xcos xt，则2sin xcos xt21，把题目中较多的未知量通过换元用一个未知量表示，并根据这个未知量的范围解决最值问题,题型三 换元法在三角函数中的应用,例3 已知函数y22sin xcos xsin xcos x，x0，求函数的最大值和最小值.,题型三 换元法在三角函数中的应用,由(sin xcos x)2t2得2sin xcos xt21，,总结提高 换元法不仅是重要的解题方法，也是解高考题的热点方法之一，掌握它的关键在于通过观察、联想发现构造出变换式，常见的基本换元形式有等式代换、三角代换、均值代换、和差代换等,精题狂练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,所以f(t)22t2(t0) 所以f(x)22x2(x0),1已知f( )2x，则函数f(x)的解析式是 _,f(x)22x2(x0),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,精题狂练,2已知函数f(x)ax3bsin x4(a，bR)，f(lg(log210)5，则f(lg(lg 2)_.,解析 因为log210与lg 2互为倒数， 所以lg(log210)与lg(lg 2)互为相反数 不妨令lg(log210)x，则lg(lg 2)x， 而f(x)f(x)ax3bsin x4a(x)3bsin(x)48， 故f(x)8f(x)853.,3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,精题狂练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,精题狂练,易知，当t1时，y有最小值2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,精题狂练,解析 设tcos x，则f(t)t23t2，t1,1，,结合二次函数的单调性，可知当t1时， 函数f(t)有最小值即为0.,4函数f(cos x)cos2x3cos x2的最小值为_,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,精题狂练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,精题狂练,6若x是三角形的最小内角，则函数ysin xcos xsin xcos x的最大值是_,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,精题狂练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,精题狂练,7已知f(3x)4xlog23233，则f(2)f(4)f(8) f(28)的值为_,解析 令t3x，则xlog3t，,所以f(2)f(4)f(8)f(28)4(1238)8233 1441 8642 008.,2 008,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,精题狂练,解析 由9x20得3x3，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,精题狂练,答案 1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,精题狂练,9.若cos2x2msin x 0恒成立，试求实数m的取值范围.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,精题狂练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,精题狂练,10.在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆 y21上的一个动点，求Sxy的最大值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,精题狂练,11.若函数f(x)4xa2xa1在(，)上存在零点，求实数a的取值范围.,解 方法一 设2xt，则函数f(x)4xa2xa1 化为g(t)t2ata1(t(0，). 函数f(x)4xa2xa1在(，)上存在零点， 等价于方程t2ata10， 有正实数根.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,精题狂练,(1)当方程有两个正实根时，a应满足,(2)方程有一正根一负根时，只需t1t2a10，即a1； (3)方程有一根为0时，a1，此时方程的另一根为1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,精题狂练,方法二 令g(t)t2ata1(t(0，). (1)当函数g(t)在(0，)上存在两个零点时，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,精题狂练,(2)当函数g(t)在(0，)上存在一个零点， 另一个零点在(，0)时，实数a应满足g(0)a10， 解得a1. (3)当函数g(t)的一个零点是0时，g(0)a10，a1， 此时可以求得函数g(t)的另一个零点是1.,