3.2 导数的应用,第2课时 导数与函数的极值、最值,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,题型分类 深度剖析,例1 (1)(2016青岛模拟)设f(x)是函数f(x)的导函数，yf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象最有可能是,题型一 用导数解决函数极值问题,命题点1 根据函数图象判断极值,答案,解析,由f(x)图象可知，x0是函数f(x)的极大值点，x2是f(x)的极小值点，故选C.,A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2) D.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2),(2)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是,答案,解析,由题图可知，当x0； 当22时，f(x)0. 由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值.,命题点2 求函数的极值 例2 (2017泉州质检)已知函数f(x)x1 (aR，e为自然对数的 底数). (1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x轴，求a的值；,解答,又曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x轴，,(2)求函数f(x)的极值.,解答,当a0时，f(x)0，f(x)为(，)上的增函数， 所以函数f(x)无极值. 当a0时，令f(x)0，得exa，即xln a， 当x(，ln a)时，f(x)0， 所以f(x)在(，ln a)上单调递减， 在(ln a，)上单调递增， 故f(x)在xln a处取得极小值且极小值为f(ln a)ln a，无极大值. 综上，当a0时，函数f(x)无极值； 当a0时，f(x)在xln a处取得极小值ln a，无极大值.,命题点3 已知极值求参数 例3 (1)(2016广州模拟)已知f(x)x33ax2bxa2在x1时有极值0，则ab_.,答案,解析,7,由题意得f(x)3x26axb，,经检验当a1，b3时，函数f(x)在x1处无法取得极值， 而a2，b9满足题意，故ab7.,答案,解析,几何画板展示,f(x)x2ax10恒成立.,思维升华,(1)求函数f(x)极值的步骤 确定函数的定义域； 求导数f(x)； 解方程f(x)0，求出函数定义域内的所有根； 列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值. (2)若函数yf(x)在区间(a，b)内有极值，那么yf(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值.,跟踪训练1 (1)函数f(x)(x21)22的极值点是 A.x1 B.x1 C.x1或1或0 D.x0,答案,解析,f(x)x42x23， 由f(x)4x34x4x(x1)(x1)0，得x0或x1或x1. 又当x0. 当01时，f(x)0， x0,1，1都是f(x)的极值点.,当x0时，y0；当1x0时，y0. 当x1时，y取极大值3.,答案,解析,3,题型二 用导数求函数的最值,例4 已知aR，函数f(x) ln x1.,解答,(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；,即x4y4ln 240.,(2)求f(x)在区间(0，e上的最小值.,解答,令f(x)0，得xa. 若a0，则f(x)0，f(x)在区间(0，e上单调递增，此时函数f(x)无最小值. 若00，函数f(x)在区间(a，e上单调递增， 所以当xa时，函数f(x)取得最小值ln a. 若ae，则当x(0，e时，f(x)0，函数f(x)在区间(0，e上单调递减，,综上可知，当a0时，函数f(x)在区间(0，e上无最小值； 当0ae时，函数f(x)在区间(0，e上的最小值为ln a；,思维升华,求函数f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a，b)内的极值； (2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)； (3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.,跟踪训练2 设函数f(x)x3 2x5，若对任意的x1,2，都有f(x)a，则实数a的取值范围是_.,答案,解析,由题意知，f(x)3x2x2，,题型三 函数极值和最值的综合问题,解答,(1)求f(x)在区间(，1)上的极小值和极大值点；,当x1时，f(x)3x22xx(3x2)，,当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,故当x0时，函数f(x)取得极小值f(0)0，函数f(x)的极大值点为x .,(2)求f(x)在1，e(e为自然对数的底数)上的最大值.,解答,当1x1时，,所以f(x)在1,1)上的最大值为2. 当1xe时，f(x)aln x， 当a0时，f(x)0；当a0时，f(x)在1，e上单调递增， 则f(x)在1，e上的最大值为f(e)a. 故当a2时，f(x)在1，e上的最大值为a； 当a2时，f(x)在1，e上的最大值为2.,思维升华,求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.,A.5,0) B.(5,0) C.3,0) D.(3,0),答案,解析,由题意，得f(x)x22xx(x2)， 故f(x)在(，2)，(0，)上是增函数， 在(2,0)上是减函数，作出其图象如图所示，,几何画板展示,典例 (12分)已知函数f(x)ln xax(aR). (1)求函数f(x)的单调区间； (2)当a0时，求函数f(x)在1,2上的最小值.,利用导数求函数的最值,答题模板系列3,(1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求f(x)0，f(x)0的解区间，并注意定义域. (2)先研究f(x)在1,2上的单调性，再确定最值是端点值还是极值. (3)两小问中，由于解析式中含有参数a，要对参数a进行分类讨论.,思维点拨,规范解答,答题模板,几何画板展示,即函数f(x)的单调递增区间为(0，). 2分,综上可知，当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，)；,所以f(x)的最小值是f(2)ln 22a. 6分,所以f(x)的最小值是f(1)a. 7分,又f(2)f(1)ln 2a，,当ln 2a1时，最小值为f(2)ln 22a. 11分 综上可知， 当0aln 2时，函数f(x)的最小值是a； 当aln 2时，函数f(x)的最小值是ln 22a. 12分,返回,用导数法求给定区间上的函数的最值问题的一般步骤： 第一步：(求导数)求函数f(x)的导数f(x)； 第二步：(求极值)求f(x)在给定区间上的单调性和极值； 第三步：(求端点值)求f(x)在给定区间上的端点值； 第四步：(求最值)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的 最大值与最小值； 第五步：(反思)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范.,返回,课时作业,1.函数f(x) x34x4的极大值为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,f(x)x24(x2)(x2)， f(x)在(，2)上单调递增，在(2,2)上单调递减，,在(2，)上单调递增，所以f(x)的极大值为f(2) .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.(2016四川)已知a为函数f(x)x312x的极小值点，则a等于 A.4 B.2 C.4 D.2,答案,解析,f(x)x312x，f(x)3x212， 令f(x)0，得x12，x22. 当x(，2)，(2，)时，f(x)0，则f(x)单调递增； 当x(2,2)时，f(x)0，则f(x)单调递减， f(x)的极小值点为a2.,3.(2017哈尔滨调研)函数f(x) x2ln x的最小值为 A. B.1 C.0 D.不存在,答案,解析,令f(x)0，得x1. 令f(x)0，得0x1. f(x)在x1处取得极小值也是最小值，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.已知函数f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是 A.(1,2) B.(，3)(6，) C.(3,6) D.(，1)(2，),答案,解析,f(x)3x22ax(a6)， 由已知可得f(x)0有两个不相等的实根. 4a243(a6)0，即a23a180. a6或a3.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*5.(2016安阳模拟)函数f(x)ax3bx2cx34(a，b，cR)的导函数为f(x)，若不等式f(x)0的解集为x|2x3，f(x)的极小值等于115，则a的值是,答案,解析,由已知可得f(x)3ax22bxc， 由3ax22bxc0的解集为x|2x3可知a0， 且2,3是方程3ax22bxc0的两根，,当x(，2)时，f(x)0，f(x)为增函数； 当x(2,3)时，f(x)0，f(x)为减函数；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,当x(3，)时，f(x)0，f(x)为增函数，,解得a2，故选C.,6.(2016宜昌模拟)已知yf(x)是奇函数，当x(0,2)时，f(x)ln xax(a )，当x(2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于,答案,解析,由题意知，当x(0,2)时，f(x)的最大值为1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10， f(1)10，且f(1)0，,7.已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10，则f(2)等于 A.11或18 B.11 C.18 D.17或18,答案,解析,f(x)x34x211x16，f(2)18.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.函数f(x)x33a2xa(a0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的 取值范围是_.,答案,解析,f(x)3x23a23(xa)(xa)， 由f(x)0得xa， 当aa或x0，函数递增. f(a)a33a3a0且f(a)a33a3a0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,2,即f(x)在0,1上的最小值为f(1)，,1,2,3,4,5,