4.1.1 圆的标准方程,4.1 圆的方程,第四章 圆与方程,赵州桥，建于隋炀帝大业年间（595-605年），至今已有1400年的历史，出自著名匠师李春之手，是今天世界上最古老的单肩石拱桥,是世界造桥史上的一个创造。,我们在前面学过，在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也能确定一条直线在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？,复习引入,问题,1、什么是圆？,如图，在一个平面内，线段CP绕它固定的一个端点C旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫做圆。,2、圆有什么特征呢？,思考： 在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？,圆心确定圆的位置 半径确定圆的大小,(1)圆上各点到定点（圆心)的距离都等于定长（半径r)； (2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.,当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了 因此一个圆最基本要素是圆心和半径,引入新课,如图，在直角坐标系中，圆心（点）A的位置用坐标 (a,b) 表示，半径r的大小等于圆上任意点M(x, y)与圆心A (a,b) 的距离,符合上述条件的圆的集合是什么？你能用描述法来表示这个集合吗？,符合上述条件的圆的集合：,圆的方程,问题,圆上任意点M(x, y)与圆心A (a,b)之间的距离能用什么公式表示？,根据两点间距离公式：,则点M、A间的距离为：,即：,是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个方程的坐标的点都在圆上？,圆的标准方程,点M(x, y)在圆上，由前面讨论可知，点M的坐标适合方程；反之，若点M(x, y)的坐标适合方程，这就说明点 M与圆心的距离是 r ，即点M在圆心为A (a, b)，半径为r的圆上,问题,把这个方程称为圆心为A(a, b)，半径长为r 的圆的方程，把它叫做圆的标准方程.,即 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2,称为圆心为A(a,b),半径长为r的圆的标准方程,问题:圆的标准方程有什么特征?,（1）有两个变量x,y，形式都是与某个实数差的平方；,（2）两个变量的系数都是1,（3）方程的右边是某个实数的平方，也就是一定为正数。,特殊位置的圆方程,因为圆心是原点O(0, 0)，将x0，y0和半径 r 带入圆的标准方程：,问题,圆心在坐标原点，半径长为r 的圆的方程是什么？,得：,整理得：,例1 写出圆心为 ，半径长等于5的圆的方程，并判断点 ， 是否在这个圆上,解：圆心是 ，半径长等于5的圆的标准方程是：,把 的坐标代入方程 左右两边相等，点 的坐标适合圆的方程，所以点 在这个圆上；,典型例题,把点 的坐标代入此方程，左右两边不相等，点 的坐标不适合圆的方程，所以点 不在这个圆上,怎样判断点 在圆 内呢？还是在圆外呢？,点与圆的位置关系,探究,从上题知道，判断一个点在不在某个圆上，只需将这个点的坐标带入这个圆的方程，如果能使圆的方程成立，则在这个圆上，反之如果不成立则不在这个圆上,怎样判断点 在圆 内呢？还是在圆外呢？,探究,可以看到：点在圆外点到圆心的距离大于半径 r ；,点在圆内点到圆心的距离小于半径 r ,例2 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,3)，C(2, 8)，求它的外接圆的方程,分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆,解法一：设所求圆的方程是 （1）,因为A(5,1), B(7,3)，C(2, 8) 都在圆上，所以它们的坐标都满足方程（1）于是,所以， 的外接圆的方程 ,解此方程组，得：,分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆,解：,例2 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,3)，C(2, 8)，求它的外接圆的方程,待定系数法,解法二：,因为A(5,1)和B(7,-3)，所以线段AB的中点的坐标为(6,-1)，直线 AB的斜率,因此线段AB的垂直平分线 l1 的方程是：,即：,所以，圆心为C的圆的标准方程是：,因为B(7,-3)和C(2,-8) ，所以线段BC的中点的坐标为(4.5,-5.5)，直线BC的斜率,因此线段BC的垂直平分线 l2 的方程是：,即：,ABC的外接圆的圆心O的坐 标是方程组 的解,解得：,即 O(2,-3),圆O的半径长：,练习:,解:,解方程组:,例3 .已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, 2)，且圆心C在直线上l：x y+1=0，求圆心为C的圆的标准方程,分析：已知道确定一个圆只需要确定圆心的位置与半径大小圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, 2)，由于圆心C与A, B两点的距离相等，所以圆心C在线段AB的垂直平分线 上又圆心C在直线l 上，因此圆心C是直线l与直线 的交点，半径长等于|CA|或|CB|,解：因为A(1, 1)和B(2, 2)，所以线段AB的中点D的坐标,直线AB的斜率:,典型例题,因此线段AB的垂直平分线 的方程是,即,例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, 2)，且圆心C在直线上l：x y+1=0，求圆心为C的圆的标准方程,解：,所以圆心C的坐标是,圆心为C的圆的半径长,所以，圆心为C的圆的标准方程是,解此方程组，得,例4、求以c(1,3）为圆心，并和直线3x - 4y - 6 =0相切的圆的方程。,解:,练习:求圆心在（-1, 2），与y轴相切的圆的方程,所求圆的方程为:(x+1)2+(y-2)2=1,解:,练习:求圆心在直线y=x上,同时和两坐标轴相切,半径为2的圆的方程.,解:,(x-2)2+(y-2)2=4 (x+2)2+(y+2)2=4,依题意得所求圆的方程为,例5,解一:,例5,解二:,练习:,解:,解:,解:,(1) 圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 当圆心在原点时 ，圆的标准方程为 x2 + y2 = r2 (2)推导圆的标准方程的方法与步骤？(3)点与圆的位置关系？ (4) 如何求圆的标准方程? 由于圆的标准方程中含有 a , b , r 三个参数，因此必须具备三个独立的条件才能确定圆；对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题一般采用圆的标准方程。 (5)如何利用圆的标准方程解决实际问题?,课堂小结：,重要结论： 点P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2 的位置关系：,5、某施工队要建一座圆拱桥，其跨度为20m， 拱高为4m，求该圆拱桥所在的圆的方程。,解：以圆拱所对的的弦所在的直线为x轴，弦的中点为原点建立如图所示的坐标系，设圆心坐标是（0，b）圆的半径是r ,则圆的方程是x2+(y-b)2=r2 。,把P（0，4） B（10，0）代入圆的方程得方程组：,解得：b= -10.5 r2=14.52,所以圆的方程是： x2+(y+10.5)2=14.52,