第二章 3 双曲线,3.1 双曲线及其标准方程,学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程. 2.掌握双曲线的标准方程及其求法. 3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 双曲线的定义,思考1,如图，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？,曲线上的点满足条件：|MF1|MF2|常数；如果改变一下笔尖位置，使|MF2|MF1|常数，可得到另一条曲线.,答案,思考2,已知点P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P的轨迹是什么图形？,答案,故点P的轨迹是双曲线.,思考2,答案,|PF1|PF2|6|F1F2|，故点P的轨迹是双曲线的右支.,梳理,把平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线.定点F1，F2叫作 ，两个焦点之间的距离叫作 .,双曲线的焦点,双曲线的焦距,知识点二 双曲线的标准方程,思考1,双曲线的标准形式有两种，如何区别焦点所在的坐标轴？,答案,双曲线标准方程中x2与y2的系数的符号决定了焦点所在的坐标轴.当x2的系数为正时，焦点在x轴上；当y2的系数为正时，焦点在y轴上，而与分母的大小无关.,思考2,如图，类比椭圆中a，b，c的意义，你能在y轴上找一点B，使|OB|b吗？,答案,以双曲线与x轴的交点A为圆心，以线段OF2为半径画圆交y轴于点B.,题型探究,类型一 双曲线的定义及应用,命题角度1 双曲线中的焦点三角形问题,答案,解析,4a2m,由双曲线的定义，知|AF1|AF2|2a， |BF1|BF2|2a. 又|AF2|BF2|AB|， 所以ABF1的周长为|AF1|BF1|AB| 4a2|AB|4a2m.,答案,解析,由定义和余弦定理，得|PF1|PF2|6， |F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60， 所以102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|， 所以|PF1|PF2|64，,引申探究 本例(2)中若F1PF290，其他条件不变，求F1PF2的面积.,解答,由双曲线方程知a3，b4，c5， 由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a6， 所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36. 在RtF1PF2中，由勾股定理得 |PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2c)2100. 将代入得|PF1|PF2|32，,求双曲线中焦点三角形面积的方法 (1)方法一：根据双曲线的定义求出|PF1|PF2|2a； 利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式； 通过配方，利用整体的思想求出|PF1|PF2|的值； 利用公式 |PF1|PF2|sinF1PF2求得面积. (2)方法二：利用公式 |F1F2|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积. 特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件|PF1|PF2|2a的变形使用，特别是与|PF1|2|PF2|2，|PF1|PF2|间的关系.,反思与感悟,答案,解析,跟踪训练1 已知F1，F2为双曲线C：x2y22的左，右焦点，点P在C上，|PF1|2|PF2|，则cos F1PF2等于,命题角度2 由双曲线定义求轨迹方程 例2 已知在ABC中，三边长分别为a，b，c，B(1，0)，C(1，0)，求满足sin Csin B sin A的顶点A的轨迹.,解答,点A的轨迹符合双曲线的定义. 点A的轨迹是以B，C为焦点的双曲线的右支(不包括点A在BC上的情况).,定义法求双曲线方程的注意点 (1)注意条件中是到定点距离之差，还是差的绝对值. (2)当差的绝对值为常数时要注意常数与两定点间距离的大小问题. (3)求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标是否都在所给的曲线上.,反思与感悟,跟踪训练2 已知动圆M与圆C1：(x4)2y22外切，与圆C2：(x4)2y22内切，则动圆圆心M的轨迹方程为,答案,解析,设动圆M的半径为r，则由已知得,又C1(4，0)，C2(4，0)，,根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(4，0)，C2(4，0)为焦点的双曲线的右支，,所以b2c2a214，,类型二 求双曲线的标准方程,解答,(2)焦距为26，且经过点M(0，12)；,解答,双曲线经过点M(0，12)，M(0，12)为双曲线的一个顶点， 故焦点在y轴上，且a12. 又2c26，c13，b2c2a225.,解答,设双曲线方程为mx2ny21(mn0).,待定系数法求方程的步骤 (1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴. (2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式. 若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2By21 (AB0)；,反思与感悟,(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值. (4)结论：写出双曲线的标准方程.,跟踪训练3 根据条件求双曲线的标准方程. (1)c ，经过点A(5，2)，焦点在x轴上；,解答,解得a25或a230(舍).,解答,设双曲线方程为mx2ny21(mn0).,解答,类型三 由双曲线标准方程求参数,解答,(1)当曲线为椭圆时，求m的取值范围，并写出焦点坐标；,解得m0，即m的取值范围为(，0). 此时，椭圆的焦点在x轴上，焦点坐标为(4，0).,解答,(2)当曲线为双曲线时，求m的取值范围，并写出焦点坐标.,当曲线为双曲线时，依题意得(16m)m0， 解得0m16，即m的取值范围为(0，16). 此时，双曲线的焦点在x轴上，焦点坐标为(4，0).,反思与感悟,(3)已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式(组)求解参数的取值范围.,跟踪训练4 已知方程 1表示双曲线，并且焦距为10，求实数m的值.,解答,2c10，c5. 当m0时，,a216m，b29m，,由c2a2b2，得2516m9m，故m1；,表示焦点在y轴上的双曲线，a29m，b216m， 由c2a2b2，得2516m9m，m1. 故实数m的值为1或1.,当堂训练,2,3,4,5,1,因为|PF1|PF2|4，且4|F1F2|， 由双曲线定义知，P点的轨迹是双曲线的一支.,1.已知F1(3，3)，F2(3，3)，动点P满足|PF1|PF2|4，则P点的轨迹是 A.双曲线 B.双曲线的一支 C.不存在 D.一条射线,答案,解析,答案,解析,2,3,4,5,1,又由|F1F2|10，可得PF1F2是直角三角形，,2,3,4,5,1,由于a0，0a24，且4a2a2，所以可解得a1，故选D.,答案,解析,2,3,4,5,1,由题意知，m10得m1.,答案,解析,A.m1 B.m3 D.1m3,答案,解析,2,3,4,5,1,规律与方法,1.双曲线定义中|PF1|PF2|2a(2ab不一定成立，要注意与椭圆中a，b，c的区别.在椭圆中a2b2c2，在双曲线中c2a2b2. 3.用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组. 如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2ny21(mn0)的形式求解.,本课结束,