9.8 圆锥曲线的综合问题,第3课时 定点、定值、探索性问题,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,题型分类 深度剖析,题型一 定点问题,解答,(1)求椭圆的标准方程；,几何画板展示,设椭圆的焦距为2c，由题意知b1，且(2a)2(2b)22(2c)2， 又a2b2c2，a23.,(2)若123，试证明：直线l过定点并求此定点.,证明,由题意设P(0，m)，Q(x0，0)，M(x1，y1)， N(x2，y2)，设l方程为xt(ym)，,123，y1y2m(y1y2)0， ,由题意知4m2t44(t23)(t2m23)0， ,将代入得t2m232m2t20， (mt)21， 由题意mt0，mt1，满足， 得直线l方程为xty1，过定点(1,0)，即Q为定点.,圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. (2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.,思维升华,解答,(1)求椭圆C的方程；,几何画板展示,解答,因为l为切线，所以(2t)24(t22)(22)0， 即t2220. 设圆与x轴的交点为T(x0，0)，,因为MN为圆的直径，,当t0时，不符合题意，故t0.,所以T为定点，故动圆过x轴上的定点(1,0)与(1,0)， 即椭圆的两个焦点.,题型二 定值问题,例2 如图，已知椭圆C： ，点B是其下顶点，过点B的直线交椭圆C于另一点A(点A在x轴下方)，且线段AB的中点E在直线yx上.,(1)求直线AB的方程；,解答,首先B(0，2) 设E(，)，则A(2，22) 把A的坐标代入椭圆方程，,即x3y60.,(2)若点P为椭圆C上异于A，B的动点，且直线AP，BP分别交直线yx于点M，N，证明：OMON为定值.,证明,设M(m，m)，N(n，n)，P(x0，y0)，,得(x03)(m1)(y01)(m3)，,圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 (1)求代数式为定值.依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值. (2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得. (3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.,思维升华,(1)求椭圆C的方程；,解答,(2)直线l：x2 与x轴交于D，P是椭圆C上异于A1，A2的动点，直线A1P，A2P分别交直线l于E，F两点，求证：DEDF为定值.,证明,由题意可得A1(2,0)，A2(2,0). 设P(x0，y0)，由题意可得2x02，,故DEDF为定值3.,题型三 探索性问题,(1)求椭圆E的方程；,解答,由已知，点C，D的坐标分别为(0，b)，(0，b)，,(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点.是否存在常数，使得 为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.,解答,几何画板展示,当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykx1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2).,其判别式(4k)28(2k21)0，,x1x2y1y2x1x2(y11)(y21),(1)(1k2)x1x2k(x1x2)1,当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD，,解决探索性问题的注意事项 探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在. (1)当条件和结论不唯一时要分类讨论. (2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件. (3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法.,思维升华,跟踪训练3 (2016苏锡常镇四市调研)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： (ab0)的左，右焦点分别为F1，F2，右顶点，上顶点分别为A，B，原点O到直线AB的距离等于ab.,解答,(1)若椭圆C的离心率等于 ，求椭圆C的方程；,几何画板展示,即bxayab0.,化简得a2b21. ,即a23b2. ,(2)若过点(0,1)的直线l与椭圆有且只有一个公共点P，且P在第二象限，直线PF2交y轴于点Q.试判断以PQ为直径的圆与点F1的位置关系，并说明理由,解答,几何画板展示,得(b2a2k2)x22ka2xa2a2b20，(*) 则(2ka2)24(b2a2k2)(a2a2b2)0，,点F1在以PQ为直径的圆上 由题设，直线l与椭圆相切且l的斜率存在，设直线l的方程为ykx1，,点P在第二象限，k1.,把k1代入方程(*)，得x22a2xa40， 解得xa2，从而yb2，P(a2，b2),又a2b21，a2b2c2，,点F1在以PQ为直径的圆上,典例 (16分)椭圆C： (ab0)的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为 ，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1. (1)求椭圆C的方程； (2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连结PF1，PF2，设F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围； (3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，若k20，证明 为定值，并求出这个定值.,设而不求，整体代换,思想与方法系列20,规范解答,思想方法指导,对题目涉及的变量巧妙地引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果，直接得定值.,返回,(2)设P(x0，y0)(y00)，,所以直线PF1，PF2的方程分别为,(3)设P(x0，y0)(y00)， 则直线l的方程为yy0k(xx0).,返回,课时作业,(1)求椭圆的标准方程；,所以a2c21，解得a2，,解答,1,2,3,4,5,证明,1,2,3,4,5,设直线l1的方程为ykx1.,得(4k21)x28kx0，,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,(1)求椭圆C的标准方程；,解答,1,2,3,4,5,a25，b21，,1,2,3,4,5,证明,1,2,3,4,5,设点A，B，M的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0)，点F的坐标为(2,0). 显然直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k， 则直线l的方程是yk(x2)，,得(15k2)x220k2x20k250，,1,2,3,4,5,故12为定值.,1,2,3,4,5,(1)求椭圆E的标准方程；,解答,由，解得a26，b24，,1,2,3,4,5,(2)若斜率为k的直线l过点A(0,1)，且与椭圆E交于C，D两点，B为椭圆E的下顶点，求证：对于任意的k，直线BC，BD的斜率之积为定值.,证明,1,2,3,4,5,设直线l：ykx1，C(x1，y1)，D(x2，y2)，,得(3k22)x26kx90.,易知B(0，2)，,1,2,3,4,5,所以对于任意的k，直线BC，BD的斜率之积为定值.,1,2,3,4,5,(1)求椭圆C的方程；,解答,又MF1F2为正三角形，且MF1MF2a，,1,2,3,4,5,(2)垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，过点P(4，0)的直线PB交椭圆C于另一点E，证明：直线AE与x轴相交于定点.,证明,1,2,3,4,5,由题意知，直线PB的斜率存在，且过点P(4,0). 设直线PB的方程为yk(x4)， B(x1，y1)，E(x2，y2)，则A(x1，y1).,得(34k2)x232k2x64k2120，,1,2,3,4,5,将y1k(x14)，y2k(x24)，代入式，,将式代入式，整理得x1. 直线AE与x轴相交于定点(1,0).,1,2,3,4,5,*5.已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于下表中：,解答,1,2,3,4,5,(1)求C1，C2的标准方程；,设抛物线C2：y22px(p0)，,易求得C2的标准方程为y24x.,1,2,3,4,5,(2)是否存在直线l满足条件：过C2的焦点F；与C1交于不同的两点M，N，且满足 ？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.,解答,1,2,3,4,5,容易验证当直线l的斜率不存在时，不满足题意. 当直线l的斜率存在时，设其方程为yk(x1)， 与C1的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2).,消去y并整理得(14k2)x28k2x4(k21)0，,1,2,3,4,5,所以y1y2k2(x11)(x21) k2x1x2(x1x2)1,1,2,3,4,5,解得k2，所以存在直线l满足条件， 且直线l的方程为2xy20或2xy20.,