12.1 合情推理与演绎推理,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.合情推理 (1)归纳推理 定义：从个别事实中推演出一般性的结论，称为归纳推理(简称归纳法). 特点：归纳推理是由 到整体、由 到一般的推理. (2)类比推理 定义：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理(简称类比法). 特点：类比推理是由 到 的推理.,知识梳理,部分,个别,特殊,特殊,(3)合情推理 合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程.归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理.,2.演绎推理 (1)演绎推理 一种由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法称为演绎推理.简言之，演绎推理是由 到 的推理. (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： 大前提一般性的原理； 小前提特殊对象； 结论揭示了一般原理与特殊对象的内在联系.,一般,特殊,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.( ) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.( ) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.( ) (4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的.( ),(5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是ann(nN*).( ) (6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确.( ),考点自测,1.观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10_.,答案,解析,123,从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，依据此规律，a10b10123.,2.下面几种推理过程是演绎推理的是_. 在数列an中，a11，an (an1 )(n2)，由此归纳数列an的通项公式； 由平面三角形的性质，推测空间四面体性质； 两直线平行，同旁内角互补，如果A和B是两条平行直线与第三条直线形成的同旁内角，则AB180； 某校高二共10个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人.,答案,解析,、是归纳推理，是类比推理，符合三段论模式，是演绎推理.,3.(2017南京质检)类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行； 垂直于同一条直线的两条直线互相平行； 垂直于同一个平面的两个平面互相平行； 垂直于同一条直线的两个平面互相平行. 则正确的结论是_.,答案,解析,显然正确； 对于，在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，也可以异面或相交； 对于，在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以相交.,4.(教材改编)在等差数列an中，若a100，则有a1a2ana1a2a19n (n19，nN*)成立，类比上述性质，在等比数列bn中，若b91，则存在的等式为_.,b1b2bnb1b2b17n(n17，nN*),答案,解析,5.(2016泰州模拟)若数列an的通项公式为an (nN*)，记f(n) (1a1)(1a2)(1an)，试通过计算f(1)，f(2)，f(3)的值，推测出 f(n) _.,答案,解析,题型分类 深度剖析,题型一 归纳推理,命题点1 与数字有关的等式的推理 例1 (2016山东)观察下列等式：,答案,解析,第2个数对应行数n，第3个数为n1.,命题点2 与不等式有关的推理,nn,第一个式子是n1的情况，此时a111； 第二个式子是n2的情况，此时a224； 第三个式子是n3的情况， 此时a3327，归纳可知ann.,答案,解析,命题点3 与数列有关的推理,例3 (2016南京模拟)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，第n个三角形数为 ，记第n个k边形数为N(n，k)(k3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：,可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)_.,1 000,答案,解析,1 1001001 000.,命题点4 与图形变化有关的推理 例4 某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为_.,55,由211,312,523知， 从第三项起，每一项都等于前两项的和， 则第6年为8，第7年为13，第8年为21，第9年为34，第10年为55.,答案,解析,归纳推理问题的常见类型及解题策略 (1)与数字有关的等式的推理.观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解. (2)与不等式有关的推理.观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解. (3)与数列有关的推理.通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可. (4)与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性.,思维升华,答案,解析,题型二 类比推理,线段长度类比到空间为体积，再结合类比到平面的结论，,答案,解析,答案,解析,(1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想其中找到合适的类比对象是解题的关键 (2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等,思维升华,跟踪训练2 在平面上，设ha，hb，hc是三角形ABC三条边上的高，P为三角形内任一点，P到相应三边的距离分别为Pa，Pb，Pc，我们可以得到结论： 1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为,_,设ha，hb，hc，hd分别是三棱锥ABCD四个面上的高， P为三棱锥ABCD内任一点，P到相应四个面的距离分别为Pa，Pb，Pc，Pd，,答案,解析,题型三 演绎推理,例6 已知函数yf(x)满足：对任意a，bR，ab，都有af(a)bf(b)af(b)bf(a). (1)试证明：f(x)为R上的单调增函数；,证明,设x1，x2R，且x1x1f(x2)x2f(x1)， x1f(x1)f(x2)x2f(x2)f(x1)0， f(x2)f(x1)(x2x1)0， x10，f(x2)f(x1). f(x)为R上的单调增函数.,(2)若x，y为正实数且 ，比较f(xy)与f(6)的大小.,解答,f(xy)f(6).,演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.,思维升华,跟踪训练3 (1)某国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅”结论显然是错误的，是因为_ 大前提错误 小前提错误 推理形式错误,因为大前提“鹅吃白菜”，不是全称命题，大前提本身正确，小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能类比，所以不符合三段论推理形式，所以推理形式错误,答案,解析,(2)(2016南京模拟)下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是_ 大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：是无理数；结论：是无限不循环小数； 大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：是无限不循环小数；结论：是无理数； 大前提：是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：是无理数； 大前提：是无限不循环小数；小前提：是无理数；结论：无限不循环小数是无理数,答案,解析,中小前提不是大前提的特殊情况，不符合三段论的推理形式，故错误； 、都不是由一般性命题到特殊性命题的推理，所以、都不正确，只有正确,考点分析 合情推理在近年来的高考中，考查频率逐渐增大，题型多为填空题，难度为中档 解决此类问题的注意事项与常用方法： (1)解决归纳推理问题，常因条件不足，了解不全面而致误应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳 (2)解决类比问题，应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由，再去类比另一类问题,高考中的合情推理问题,高频小考点10,典例 (1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数他们研究过如图所示的三角形数：,将三角形数1,3,6,10，记为数列an，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列bn，可以推测： b2 014是数列an的第_项；,5 035,b2k1_.(用k表示),答案,解析,(2)设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数yf(x)满足：(i)Tf(x)|xS；(ii)对任意x1，x2S，当x1x2时，恒有f(x1)f(x2)那么称这两个集合“保序同构”以下集合对不是“保序同构”的是_ AN*，BN； Ax|1x3，Bx|x8或0x10； Ax|0x1，BR； AZ，BQ.,答案,解析,对于，取f(x)x1，xN*， 所以AN*，BN是“保序同构”的，故排除；,所以Ax|1x3，Bx|x8或0x10是“保序同构”的，故排除；,所以Ax|0x1，BR是“保序同构”的，故排除. 不符合，故填.,课时作业,1.若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：aR，结论是：a20，那么这个演绎推理出错在_. 大前提 小前提 推理过程 没有出错,答案,解析,推理形式正确，但大前提错误，故得到的结论错误.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.下列推理是归纳推理的是_. A，B为定点，动点P满足PAPB2aAB，则P点的轨迹为椭圆； 由a11，an3n1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式； 科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇.,从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn，是从特殊到一般的推理， 所以是归纳推理，其余都不是.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.(2017苏州质检)如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为_.,答案,解析,8,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为26，第4层的点数为36，第5层的点数为46，第n(n2，nN*)层的点数为6(n1).设一个点阵有n(n2，nN*)层，则共有的点数为16626(n1)