甘肃省西北师范大学附属中学2017届高三下学期第四次校内诊断考试数学（文）试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 则 ，选C.2.已知复数的实部和虚部相等，则（ ）A. 2 B. 3 C. D. 【答案】D【解析】,，选D.3.已知向量满足，则（ ）A. 12 B. 20 C. D. 【答案】A【解析】试题分析：由题意得，由，解得得，则，故选A考点：1、向量的坐标运算；2、平面向量的数量积公式4.数列是公差不为零的等差数列，并且是等比数列的相邻三项，若，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设等差数列 首项为，公差为，则， ， ， ；设等比数列 公比为 ， ， ，选B.5.函数 的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将函数的图象（ ）A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度【答案】B【解析】解析 ，将代入得，故可将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象.6.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为(参考数据：)A. 12 B. 24 C. 36 D. 48【答案】B【解析】试题分析：第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：，满足条件，跳出循环，输出.故选B.考点：1.数学文化；2.程序框图.【名师点睛】本题考查数学文化与程序框图，属中档题；数学文化是高考新增内容，程序框图是第年高考的必考内容，掌握循环程序的运行方法，框图以赋值框和条件框为主，按照框图箭线方向和每个框的指令要求运行，注意条件框的要求是否满足，运行程序时要准确.7.若三个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】,则 ，不等式有解，则，解得或,选C.8.在上随机地取两个实数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】直线与圆相交,只需圆心到直线的距离小于半径，即，由于，在直角坐标系下画出满足条件的正方形区域，其面积为16，满足的面积为，根据几何概型求概率公式得：，选A.9.某三棱锥的三视图如图所示，其侧（左）视图为直角三角形，则该三棱锥最长的棱长等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】根据三视图恢复为原几何体，原几何体为三棱锥，其中底面，底面为直角三角形，其中，计算 ，最长棱为.10.已知抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为，点是抛物线上的一动点，到双曲线的上焦点的距离与到直线的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】抛物线的焦点,双曲线的渐近线方程为，任取一条渐近线，焦点到渐近线的距离， 为抛物线的准线，到准线的距离等于到焦点的距离，到双曲线的上焦点的距离与到直线的距离之和的最小值为，则，选B.11.在等腰直角中，在边上且满足：，若，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】根据题意，在线段上，过 作，垂足为，作 ，垂足为 ，若设，由于 ，得 ，根据题意 ； ，即 ，故选A.12.定义在R上的奇函数，当时，则关于的函数的所有零点之和为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由已知可得 时， ，当时， ，令 ， ，此时无解；当时，由，得；当，由，得；根据函数为奇函数，所以当时，同样当时，的解依次为 ， ， ；所以，选B.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.抛物线的焦点坐标为_【答案】【解析】抛物线方程化为， ，抛物线的焦点坐标为.14.设函数则_【答案】-1【解析】 ,.15.现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为_【答案】【解析】【分析】设球半径为R，正方体边长为a，由题意得当正方体体积最大时：R2，由此能求出所得工件体积与原料体积之比的最大值【详解】设球半径为R，正方体边长为a，由题意得当正方体体积最大时：R2，R，所得工件体积与原料体积之比的最大值为：故答案为【点睛】本题考查空间几何体的体积，是中档题，关键是确定正方体体积最大时体积之比为最大值.16.已知函数的图像为曲线，若曲线存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围为 【答案】【解析】试题分析：，；若存在与垂直的切线，则有解；即有解，考点：1导数的几何意义；2两直线的位置关系三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知函数，当时，的最小值为. （1）求的值；（2）在中，已知，延长至，使，且，求的面积.【答案】（1）;（2）.【解析】试题分析：利用两角和公式、降幂公式及辅助角公式把函数解析式化为标准形式，根据的范围求出的范围，根据的最小值为，求出的值；利用，求出角，在根据正弦定理、余弦定理及面积公式解题.试题解析：（），当时，由（）知，又,，又，故在中，由余弦定理可得：解得:在中，又，18.某大学高等数学这学期分别用两种不同的数学方式试验甲、乙两个大一新班（人数均为人，入学数学平均分和优秀率都相同；勤奋程度和自觉性都一样）.现随机抽取甲、乙两班各名的高等数学期末考试成绩，得到茎叶图： （1）学校规定：成绩不得低于85分的为优秀，请填写下面的列联表，并判断“能否在犯错误率的概率不超过0.025的前提下认为成绩优异与教学方式有关？”下面临界值表仅供参考：（参考方式：，其中）（2）现从甲班高等数学成绩不得低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为86分的同学至少有一个被抽中的概率.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：根据茎叶图所提供的数据，填写 列联表，根据独立性检验方法先计算随机变量观测值，计算要准确，保留3位小数，根据临界值表发现，因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下，可以认为成绩优秀与数学方式有关；甲班不低于80分有6人，随机抽取两人，用列举法列出15种情况，至少有1名86分的情况有9种，求出概率值.试题解析：（1）甲班乙班合计优秀不优秀合计，因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下，可以认为成绩优秀与数学方式有关.（2）甲班不低于80分有6人，随机抽取两人，用列举法列出15种情况，至少有1名86分的情况有9种，19.如图，正方形的边长等于2，平面平面.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：根据线面平行的判定定理证明线面平行，连接交于 ，取中点，连接，借助中位线定理和平行四边形的判定与性质证明线线平行，进而得证；根据线面平行，可以转化三棱锥的体积，又 ，利用平面，求出体积.试题解析：（1）证明：连接，记，取的中点，连接点分别是的中点，又四边形为平行四边形，即，又面面（2）在面内，过点作，交于点，由已知条件可得，在梯形中，即，从而面面，面面面面点到平面的距离等于点到平面的距离.【点睛】求三棱锥的体积要灵活运用转化思想，一是灵活选用顶点，方便利用体高的数值，方便求底面面积；二是灵活使用平行转化、对称转化、比例转化，使所求的四棱锥的体积的底面积与高计算简单准确.20.已知椭圆的一个焦点为，左右顶点分别为，经过点的直线与椭圆交于两点.（1）求椭圆方程；（2）记与的面积分别为和，求的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）根据条件建立参数，所满足的方程，解方程组即可求解；（2）建立的函数表达式，求函数最值即可求解.试题解析：（1） 点为椭圆的一个焦点，又，椭圆方程为；（2）当直线斜率不存在时，直线方程为，此时，与的面积相等，当直线斜率存在时，设直线方程为（），设，显然，异号，由得，显然，方程有实根，且，此时，由可得，当且仅当时等号成立，的最大值为.考点：1.椭圆的标准方程；2.椭圆中的最值问题.【方法点睛】求解范围问题的常见求法：（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围21.设函数，的图象在点处的切线与直线平行 （1）求的值； （2）若函数，且在区间上是单调函数，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由题意知，曲线y=f（x）的图象在点（1，f（1）处的切线斜率为3，求导数，代入计算，即可得出结论；（2）求导数，分类讨论，即可求实数a的取值范围试题解析：（1）由题意知，曲线的图象在点处的切线斜率为3， 所以，又， 即，所以（2）由（1）知， 所以， 若在区间（0，+）上为单调递减函数，则在（0，+）上恒成立， 即，所以 令，则， 由，得，由，得， 故在（0，1上是减函数，在1，+）上是增函数， 则，无最大值，在（0，+）上不恒成立， 故在（0，+）不可能是单调减函数若在（0，+）上为单调递增函数，则在（0，+）上恒成立， 即，所以， 由前面推理知，的最小值为，故a的取值范围是.点睛：已知函数单调性求参即可转化为导数恒大于等于或恒小于等于0问题，即为恒成立问题.（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；（3）若 恒成立，可转化为请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数）.现以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出直线普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）过点，且与直线平行的直线交于两点，求.【答案】（1）；（2）.【解析】