第三章 数系的扩充与复数的引入章末课时作业 新人教A版选修1-2 题型一 分类讨论思想的应用 例1 实数k为何值时，复数(1i)k2(35i)k2(23i)满足下列条件？ (1)是实数； (2)是虚数； (3)是纯虚数 解 (1i)k2(35i)k2(23i)(k23k4)(k25k6)i. (1)当k25k60， 即k6或k1时，该复数为实数 (2)当k25k60， 即k6且k1时，该复数为虚数 (3)当 即k4时，该复数为纯虚数 反思与感悟 当复数的实部与虚部含有字母时，利用复数的有关概念进行分类讨论分别确定什么情况下是实数、虚数、纯虚数当xyi没有说明x，yR时，也要分情况讨论 跟踪训练1 (1)若复数(a2a2)(|a1|1)i(aR)不是纯虚数，则( ) Aa1 Ba1且a2 Ca1 Da2 答案 C 解析 若一个复数不是纯虚数，则该复数是一个虚数或是一个实数当a2a20时，已知的复数一定不是纯虚数，解得a1且a2；当a2a20且|a1|10时，已知的复数也不是一个纯虚数，解得a2.综上所述，当a1时，已知的复数不是一个纯虚数 (2)实数x取什么值时，复数z(x2x6)(x22x15)i是： 实数；虚数；纯虚数；零 解 当x22x150， 即x3或x5时，复数z为实数； 当x22x150， 即x3且x5时，复数z为虚数； 当x2x60且x22x150， 即x2时，复数z是纯虚数； 当x2x60且x22x150， 即x3时，复数z为零 题型二 数形结合思想的应用 例2 已知等腰梯形OABC的顶点A、B在复平面上对应的复数分别为12i，26i，OABC.求顶点C所对应的复数z. 解 设zxyi，x，yR，如图 OABC， |OC|BA|， kOAkBC， |zC|zBzA|， 即 解得或. |OA|BC|， x23，y24(舍去)， 故z5. 反思与感悟 数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法本章中，复数本身的几何意义、复数的模以及复数加减法的几何意义都是数形结合思想的体现它们得以相互转化涉及的主要问题有复数在复平面内对应点的位置、复数运算及模的最值问题等 跟踪训练 2 已知复数z1i(1i)3. (1)求|z1|； (2)若|z|1，求|zz1|的最大值 解 (1)|z1|i(1i)3|i|1i|32. (2)如图所示， 由|z|1可知，z在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O(0,0)的圆，而z1对应着坐标系中的点Z1(2，2) 所以|zz1|的最大值可以看成是点Z1(2，2)到圆上的点的距离的最大值 由图知|zz1|max |z1|r(r为圆半径) 21. 题型三 转化与化归思想的应用 例3 已知z是复数，z2i，均为实数，且(zai)2的对应点在第一象限，求实数a的取值范围 解 设zxyi(x，yR)， 则z2ix(y2)i为实数， y2. 又(x2i)(2i) (2x2)(x4)i为实数， x4. z42i， 又(zai)2(42iai)2(124aa2)8(a2)i在第一象限 ， 解得2a6. 实数a的取值范围是(2,6) 反思与感悟 在求复数时，常设复数zxyi(x，yR)，把复数z满足的条件转化为实数x，y满足的条件，即复数问题实数化的基本思想在本章中非常重要 跟踪训练3 已知x，y为共轭复数，且(xy)23xyi46i，求x，y. 解 设xabi(a，bR)， 则yabi. 又(xy)23xyi46i， 4a23(a2b2)i46i， 或 或或 或 或或 题型四 类比思想的应用 复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比根式的分子分母有理化，只要注意i21. 在运算的过程中常用来降幂的公式有 (1)i的乘方：i4k1，i4k1i，i4k21， i4k3i(kZ)； (2)(1i)22i； (3)设i， 则31，2，120， 2，3n1，3n1(N*)等； (4)(i)31； (5)作复数除法运算时，有如下技巧： i，利用此结论可使一些特殊的计算过程简化 例 4 计算： (1)(1i)(i)(1i)； (2)()2 006. 解 (1)方法一 (1i)(i)(1i) (iii2)(1i) (i)(1i) iii2 1i. 方法二 原式(1i)(1i)(i) (1i2)(i) 2(i) 1i. (2)()2 006 iii0. 反思与感悟 复数的运算可以看作多项式的化简，加减看作多项式加减，合并同类项，乘法和除法可看作多项式的乘法 跟踪训练4 计算：. 解 2(i3)i12i. - 6 -