用样本的数字特征估计总体的数字特征(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2016兰州高一检测)10名工人某天生产同一零件,生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a,中位数为b,众数为c,则有()A.abcB.bcaC.cabD.cba【解析】选D.a=(15+17+14+10+15+17+17+16+14+12)=14.7;将10个数由小到大排列为:10,12,14,14,15,15,16,17,17,17,中位数b=15,众数c=17.2.将某选手的9个得分去掉1个最高分,去掉1个最低分,7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊,无法辨认,在图中以x表示:则7个剩余分数的方差为()A.B.C.36D.【解题指南】显然x可不作为最低分、最高分,因此可依据平均分数求出x的值,然后在计算其方差.【解析】选B.由题意知=91,解得x=4.所以s2=(87-91)2+(94-91)2+(90-91)2+(91-91)2+(90-91)2+(94-91)2+(91-91)2 =(16+9+1+0+1+9+0)=.3.(2015安徽高考)若样本数据x1,x2,x10的标准差为8,则数据2x1-1,2x2-1,2x10-1的标准差为()A.8B.15C.16D.32【解题指南】应用标准差、方差公式和性质计算标准差.【解析】选C.样本数据x1,x2,x10的标准差=8,则DX=64,而样本数据2x1-1,2x2-1,2x10-1的方差D(2X-1)=22DX=2264,所以其标准差为 =16.4.已知样本数据x1,x2,x10,其中x1,x2,x3的平均数为a,x4,x5,x6,x10的平均数为b,则样本数据的平均数为()A.B.C.D.【解析】选B.前3个数据的和为3a,后7个数据的和为7b,样本平均数为10个数据的和除以10.【拓展延伸】加权平均数一般地,若取值为x1,x2,xn的频率分别为p1,p2,pn,则其平均数为=x1p1+x2p2+x3p3+xnpn(其中p1+p2+pn=1).像这样运用频率计算的平均值称为加权平均数.5.某公司10位员工的月工资(单位:元)为x1,x2,x10,其均值和方差分别为和s2,若从下月起每位员工的月工资增加100元,则这10位员工下月工资的均值和方差分别为()A.,s2+1002B.+100,s2+1002C.,s2D.+100,s2【解题指南】根据样本数据均值和方差的计算公式代入求解即可.【解析】选D.样本数据x1,x2,x10的均值=(x1+x2+x10),方差s2=(x1-)2+(x2-)2+(x10-)2新数据x1+100,x2+100,x10+100的均值,=(x1+100+x2+100+x10+100)=(x1+x2+x10)+100=+100,新数据x1+100,x2+100,x10+100的方差,s2=(x1+100-100)2+(x2+100-100)2+(x10+100-100)2=(x1-)2+(x2-)2+(x10-)2=s2.6.(2016北京高一检测)某射手在一次训练中五次射击的成绩分别为9.4,9.4,9.4,9.6,9.7,则该射手五次射击的成绩的方差是()A.0.127B.0.016C.0.08D.0.216【解析】选B.=(9.4+9.4+9.4+9.6+9.7)=9.5,所以s2=(9.4-9.5)2+(9.4-9.5)2+(9.4-9.5)2+(9.6-9.5)2 +(9.7-9.5)2 =0.016.7.一组数据的方差为s2,平均数为,将这组数据中的每一个数都乘以2,所得的一组新数据的方差和平均数为()A.s2,B.2s2,2C.4s2,2D.s2,【解析】选C.将一组数据的每一个数都乘以a,则新数据组的方差为原来数据组方差的a2倍,平均数为原来数据组的a倍.故答案选C.8.(2016大连高二检测)甲乙两名学生六次数学测验成绩(百分制)如图所示.甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数;甲同学的平均分比乙同学高;甲同学的平均分比乙同学低;甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差.上面说法正确的是()A.B.C.D.【解析】选A.甲的中位数是=81,乙的中位数是=87.5,故错,排除B、D;甲的平均分为=81,乙的平均分为=85,故错,对,排除选项C,故选A.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2016江苏高考)已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是_.【解析】样本数据的平均数为5.1,所以方差为s2=(4.7-5.1)2+(4.8-5.1)2+(5.1-5.1)2+(5.4-5.1)2+(5.5-5.1)2=(-0.4)2+(-0.3)2+02+0.32+0.42=(0.16+0.09+0.09+0.16)=0.5=0.1.答案:0.110.某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为x,y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10,方差为2,则x2+y2=_.【解析】由平均数为10,得(x+y+10+11+9)=10,则x+y=20;又由于方差为2,则(x-10)2+(y-10)2+(10-10)2+(11-10)2+(9-10)2=2,整理得x2+y2-20(x+y)=-192.则x2+y2=20(x+y)-192=2020-192=208.答案:208【补偿训练】(2016衡水高一检测)由正整数组成的一组数据x1,x2,x3,x4,其平均数和中位数都是2,且标准差等于1,则这组数据为_.(从小到大排列)【解析】不妨设x1x2x3x4,得:x2+x3=4,x1+x2+x3+x4=8x1+x4=4s2=1,所以(x1-2)2+(x2-2)2+(x3-2)2+(x4-2)2=4.如果有一个数为0或4;则其余数为2,不合题意;只能取|x1-2|=1;得:这组数据为1,1,3,3.答案:1,1,3,3三、解答题(每小题10分,共20分)11.某纺织厂订购一批棉花,其各种长度的纤维所占的比例如下表所示:纤维长度(厘米)356所占的比例(%)254035(1)请估计这批棉花纤维的平均长度与方差.(2)如果规定这批棉花纤维的平均长度为4.90厘米,方差不超过1.200,两者允许误差均不超过0.10视为合格产品.请你估计这批棉花的质量是否合格?【解析】(1)=325%+540%+635%=4.85(厘米).s2=(3-4.85)20.25+(5-4.85)20.4+(6-4.85)20.35=1.327 5(平方厘米).由此估计这批棉花纤维的平均长度为4.85厘米,方差为1.327 5平方厘米.(2)因为4.90-4.85=0.050.10,故棉花纤维长度的平均值达到标准,但方差超过标准,所以可认为这批产品不合格.12.某学校高一(1)班和高一(2)班各有49名学生,两班在一次数学测验中的成绩统计如下:班级平均分众数中位数标准差(1)班79708719.8(2)班7970795.2(1)请你对下面的一段话给予简要分析:高一(1)班的小刚回家对妈妈说:“昨天的数学测验,全班平均分为79分,得70分的人最多,我得了85分,在班里算上游了!”(2)请你根据表中的数据,对这两个班的数学测验情况进行简要分析,并提出建议.【解题指南】(1)根据平均数、中位数、众数所反映的情况来分析.(2)结合标准差的意义来提出建议.【解析】(1)由于(1)班49名学生数学测验成绩的中位数是87,则85分排在全班第25名之后,所以从位次上看,不能说85分是上游,成绩应该属于中游.但也不能以位次来判断学习的好坏,小刚得了85分,说明他对这段的学习内容掌握得较好,从掌握学习的内容上讲,也可以说属于上游.(2)(1)班成绩的中位数是87分,说明高于87分(含87)的人数占一半以上,而平均分为79分,标准差又很大,说明低分也多,两极分化严重,建议加强对学习困难的学生的帮助.(2)班的中位数和平均数都是79分,标准差又小,说明学生之间差别较小,学习很差的学生少,但学习优异的也很少,建议采取措施提高优秀率.【能力挑战题】甲、乙两人参加某体育项目训练,近期的五次测试成绩得分情况如图:(1)分别求出两人得分的平均数与方差.(2)根据图和上面算得的结果,对两人的训练成绩作出评价.【解题指南】根据图象,写出甲、乙两人各次的成绩,求出平均数,然后求方差,再根据平均数和方差对两人的成绩作出评价.【解析】(1)由图可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为甲:10分,13分,12分,14分,16分;乙:13分,14分,12分,12分,14分.=13(分),=13(分),=(10-13)2+(13-13)2+(12-13)2+(14-13)2+(16-13)2=4,=(13-13)2+(14-13)3+(12-13)2+(12-13)2+(14-13)2=0.8.(2)由可知乙的成绩较稳定.从折线图看,甲的成绩由低到高基本呈上升状态,而乙的成绩有升有降,变化幅度不大,较为稳定.