课后提升训练 二十二复数代数形式的加、减运算及其几何意义(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.设z1=2+bi,z2=a+i,a,bR,当z1+z2=0时,复数a+bi为()A.1+iB.2+iC.3D.-2-i【解析】选D.因为z1+z2=(2+bi)+(a+i)=(2+a)+(b+1)i,且z1+z2=0,所以解得所以a+bi=-2-i.2.向量对应的复数为5-4i,向量对应的复数为-5+4i,则+对应的复数为()A.-10-8iB.10-8iC.0D.10+8i【解析】选C.+=(5-4i)+(-5+4i)=0.3.若z=x+yi(x,yR),定义|z|=.当z1=-5+12i,z2=-6-6i时,则|z1|与|z2|的大小关系是()A.|z1|=|z2|B.|z1|z2|D.|z1|与|z2|不能比较大小【解析】选C.因为z1=-5+12i,z2=-6-6i,所以|z1|=13,|z2|=12,所以|z1|z2|.4.在复平面上z1=a+bi,z2=c+di,若ac,cd+abda+bc,则z=z1-z2在复平面内所表示的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选A.因为z=z1-z2=(a-c)+(b-d)i,因为ac,所以a-c0.又因为cd+abda+bc,所以(a-c)(b-d)0.所以b-d0.所以z在复平面内所表示的点位于第一象限.5.在复平面内,若复数z满足|z+1|=|z-i|,则z所对应的点Z的集合构成的图象是()A.圆B.直线C.椭圆D.双曲线【解析】选B.方法一:设z=x+yi(x,yR),因为|z+1|=|x+yi+1|=,|z-i|=|x+yi-i|=,所以=,所以x+y=0,所以z的对应点Z的集合构成的图形是第二、四象限角平分线.方法二:设点Z1对应的复数为-1,点Z2对应的复数为i,则等式|z+1|=|z-i|的几何意义是动点Z到两点Z1,Z2的距离相等.所以Z的集合是线段Z1Z2的垂直平分线.6.复数z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-1-2i,它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点,则这个正方形的第四个顶点对应的复数为()A.2+iB.2-iC.3-iD.3+i【解析】选B.利用=,求点D的对应复数.设复数z1,z2,z3所对应的点为A,B,C,正方形的第四个顶点D对应的复数为x+yi(x,yR),则=-=(x+yi)-(1+2i)=(x-1)+(y-2)i;=-=(-1-2i)-(-2+i)=1-3i.因为=,即(x-1)+(y-2)i=1-3i,所以解得故点D对应的复数为2-i.7.|(3+2i)-(1+i)|表示()A.点(3,2)与点(1,1)之间的距离B.点(3,2)与点(-1,-1)之间的距离C.点(3,2)到原点的距离D.以上都不对【解析】选A.(3+2i)-(1+i)=2+i,|2+i|=;|z1-z2|的几何意义表示的就是这两个复数对应的两个点间的距离.8.已知zC,且|z-2-2i|=1,i是虚数单位,则|z+2-2i|的最小值是()A.2B.3C.4D.5【解题指南】考虑|z-2-2i|=1的几何意义,表示以(2,2)为圆心,以1为半径的圆,|z+2-2i|的最小值,就是圆上的点到(-2,2)距离的最小值,转化为圆心到(-2,2)距离与半径的差.【解析】选B.|z-2-2i|=1表示的几何意义是平面内到A(2,2)的距离等于1的点的轨迹,即以点A(2,2)为圆心,以1为半径的圆C,|z+2-2i|的最小值,即圆C上的点到B(-2,2)的距离的最小值d=|AB|-1=3.【变式探究】把本题条件中|z-2-2i|与结论中|z+2-2i|互换,即已知zC,且|z+2-2i|=1,求|z-2-2i|的最小值.结果如何?【解析】设z=x+yi(x,yR),则|(x+yi)+2-2i|=1,即|(x+2)+(y-2)i|=1,所以=1,所以(x+2)2+(y-2)2=1,即复数z对应的复平面上的点Z在以(-2,2)为圆心,以1为半径的圆上,所以-3x-1.而|z-2-2i|=,因为-3x-1,所以当x=-1时,|z-2-2i|取最小值3.【一题多解】(几何法)|z+2-2i|=|z-(-2+2i)|=1,所以复数z在复平面内的对应点的轨迹是以(-2,2)为圆心,以1为半径的圆.|z-2-2i|=|z-(2+2i)|表示复数z在复平面内的对应点到点(2,2)的距离,即圆上的点到点(2,2)的距离,最小值为圆心与点(2,2)的距离减去半径,易求得|z-2-2i|的最小值为3.二、填空题(每小题5分,共10分)9.在复平面内的平行四边形ABCD中,对应的复数是6+8i,对应的复数是-4+6i,则对应的复数是_.【解析】依据向量的平行四边形法则可得+=,-=,由对应的复数是6+8i,对应的复数是-4+6i,依据复数加法的几何意义可得对应的复数是-1-7i.答案:-1-7i10.已知|z|=,且z-2+4i为纯虚数,则z=_.【解析】设复数z=x+yi(x,yR),则z-2+4i=(x-2)+(y+4)i.由题意知所以或所以z=2i.答案:2i三、解答题(每小题10分,共20分)11.已知z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,yR),设z=z1-z2=13-2i,求z1,z2.【解析】z=z1-z2=(3x+y)+(y-4x)i-(4y-2x)-(5x+3y)i=(3x+y)-(4y-2x)+(y-4x)+(5x+3y)i=(5x-3y)+(x+4y)i,又因为z=13-2i,且x,yR,所以解得所以z1=(32-1)+(-1-42)i=5-9i,z2=4(-1)-22-52+3(-1)i=-8-7i.12.已知复平面内的平行四边形ABCD,A点对应的复数为2+i,向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i,求:(1)点C,D对应的复数.(2)平行四边形ABCD的面积.【解析】(1)因为向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i,所以向量对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i.又因为=+,所以点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i.因为=,所以向量对应的复数为3-i,即=(3,-1).设D(x,y),则=(x-2,y-1)=(3,-1),所以解得所以点D对应的复数为5.(2)因为=|cosB,所以cosB=.因为0B,所以sinB=,所以S=|sinB=7,所以平行四边形ABCD的面积为7.【能力挑战题】已知平行四边形OABC的三个顶点O,A,C对应的复数分别为0,3+2i,-2+4i.(1)求表示的复数.(2)求表示的复数.(3)求B点对应的复数.【解题指南】对于(1),可由=-求得;对于(2),由=-求得;对于(3),可先求出的坐标,进而可知点B的坐标.【解析】(1)因为=-,所以表示的复数为-(3+2i),即-3-2i.(2)因为=-,所以表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.(3)因为=+,所以表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,即B点对应的复数为1+6i.