第二章圆锥曲线与方程一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知抛物线的方程为y2ax2，且过点(1,4)，则焦点坐标为()A.B.C(1,0)D(0,1)解析：抛物线过点(1,4)，42a，a2，抛物线方程为x2y，焦点坐标为.答案：A2设椭圆1(m0，n0)的右焦点与抛物线y28x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为()A.1 B.1C.1D.1解析：y28x的焦点为(2,0)，1的右焦点为(2,0)，mn且c2.又e，m4.c2m2n24，n212.椭圆方程为1.答案：B3已知点A(2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足x2，则点P的轨迹是()A圆B椭圆C直线D抛物线解析：依题意，(2x，y)，(3x，y)又x2，(2x)(3x)y2x2，即y2x6.点P的轨迹是抛物线答案：D4中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，2)，则它的离心率为()A. B.C.D.解析：设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，所以其渐近线方程为yx，因为点(4，2)在渐近线上，所以，根据c2a2b2，可得，解得e2，e.答案：D5若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为()A.1 B.1C.1或1D.1解析：2c6，c3，2a2b18，a2b2c2，椭圆方程为1或1.答案：C6已知双曲线x21的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为()A1B0C2D解析：设点P(x0，y0)，则x1，由题意得A1(1,0)，F2(2，0)，则(1x0，y0)(2x0，y0)xx02y，由双曲线方程得y3(x1)，故4xx05(x01)，可得当x01时，有最小值2.故选C.答案：C7已知F是抛物线yx2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是()Ax22y1Bx22yCx2yDx22y2解析：设P(x0，y0)，PF的中点为(x，y)，则y0x，又F(0,1)，代入y0x得2y1(2x)2，化简得x22y1，故选A.答案：A8抛物线y24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是()A. B.C1D.解析：由已知解出抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为xy0或xy0，则焦点到渐近线的距离d1或d2.答案：B9直线yxb与抛物线x22y交于A，B两点，O为坐标原点，且OAOB，则b()A2B2C1D1解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组消去y，得x22x2b0，所以x1x22，x1x22b，y1y2(x1b)(x2b)x1x2b(x1x2)b2b2，又OAOB，x1x2y1y20，即b22b0，解得b0(舍)或b2.答案：A10已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程是yx，它的一个焦点在抛物线y224x的准线上，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1D.1解析：因为双曲线1(a0，b0)的一个焦点在抛物线y224x的准线上，所以F(6,0)是双曲线的左焦点，即a2b236，又双曲线的一条渐近线方程是yx，所以，解得a29，b227，所以双曲线的方程为1，故选B.答案：B11若动圆圆心在抛物线y28x上，且动圆恒与直线x20相切，则动圆必过定点()A(4,0)B(2,0)C(0,2)D(0，2)解析：抛物线y28x上的点到准线x20的距离与到焦点(2,0)的距离相等，故动圆必过焦点(2,0)答案：B12设圆锥曲线的两个焦点分别为F1，F2.若曲线上存在点P满足|PF1|F1F2|PF2|432，则曲线的离心率等于()A.或 B.或2C.或2D.或解析：设圆锥曲线的离心率为e，由|PF1|F1F2|PF2|432，知若圆锥曲线为椭圆，由椭圆的定义，则有e；若圆锥曲线为双曲线，由双曲线的定义，则有e.综上，所求的离心率为或.故选A.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分请把正确答案填在题中横线上)13已知椭圆C：1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，且满足|PF2|F1F2|，则PF1F2的面积等于_解析：由1知，a5，b4，c3，即F1(3,0)，F2(3,0)，|PF2|F1F2|6.又由椭圆的定义，知|PF1|PF2|10，|PF1|1064，于是SPF1F2|PF1|h48.答案：814已知抛物线y24x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则yy的最小值是_解析：若k不存在，则yy32.若k存在，设直线AB的斜率为k，当k0时，直线AB的方程为y0，不合题意，故k0.由题意设直线AB的方程为yk(x4)(k0)，由得ky24y16k0，y1y2，y1y216.yy(y1y2)22y1y223232.yy的最小值为32.答案：3215设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为_解析：设椭圆的方程为1(ab0)，F2的坐标为(c,0)，P点坐标为，由题意知|PF2|F1F2|，所以2c，a2c22ac，2210，解得1，负值舍去答案：116已知双曲线C：1，给出以下4个命题，真命题的序号是_直线yx1与双曲线有两个交点；双曲线C与1有相同的渐近线；双曲线C的焦点到一条渐近线的距离为3.解析：错误，因为直线yx1与渐近线yx平行，与双曲线只有一个交点；正确，渐近线方程为yx；正确，右焦点为(，0)到渐近线yx的距离为3.答案：三、解答题(本大题共6小题，共74分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)求与椭圆1有公共焦点，并且离心率为的双曲线方程解析：由椭圆方程为1，知长半轴长a13，短半轴长b12，焦距的一半c1 ，焦点是F1(，0)，F2(，0)，因此双曲线的焦点也是F1(，0)，F2(，0)，设双曲线方程为1(a0，b0)，由题设条件及双曲线的性质，得解得故所求双曲线的方程为y21.18(本小题满分12分)已知过抛物线y22px(p0)的焦点的直线交抛物线于A，B两点，且|AB|p，求AB所在的直线方程解析：焦点F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，若ABOx，则|AB|2pp，不合题意，所以直线AB的斜率存在，设为k，则直线AB的方程为yk，k0.由消去x，整理得ky22pykp20.由根与系数关系得，y1y2，y1y2p2.|AB| 2pp.解得k2.AB所在的直线方程为y2或y2.19(本小题满分12分)(2014杭州高二检测)已知A(7,0)，B(7,0)，C(2，12)，椭圆过A，B两点且以C为其一个焦点，求椭圆另一个焦点的轨迹方程解析：设椭圆的另一个焦点为P(x，y)，则由题意知|AC|AP|BC|BP|，|BP|AP|AC|BC|21且k0，解得k2或k1(舍去)所求k的值为2.22(本小题满分14分)已知椭圆1和双曲线1有公共的焦点(1)求双曲线的渐近线方程；(2)直线l过焦点且垂直于x轴，若直线l与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为，求双曲线的方程解析：(1)依题意，有3m25n22m23n2，即m28n2，即双曲线方程为1，故双曲线的渐近线方程是0，即yx.(2)不妨设渐近线yx与直线l：xc交于点A，B，则|AB|，SOABcc，解得c1.即a2b21，又，a2，b2，双曲线的方程为1.