2空间向量的运算课时目标1.掌握空间向量的加减运算及其运算律，能借助图形理解空间向量及其运算的意义.2.掌握空间向量数乘运算的定义和运算律，了解共线向量定理.3.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法，能用向量的数量积判断向量共线与垂直1空间向量的加法设a和b是空间两个向量，如图，过点O作a，b，则平行四边形的对角线OC对应的_就是a与b的和，记作_2空间向量的减法a与b的差定义为_，记作_，其中b是b的相反向量3空间向量加减法的运算律(1)结合律：(ab)c_.(2)交换律：ab_.4数乘的定义空间向量a与实数的乘积是一个_，记作_(1)|a|_.(2)当_时，a与a方向相同；当_时，a与a方向相反；当_时，a0.(3)交换律：a_(R)(4)分配律：(ab)_.()a_(R，R)(5)结合律：()a_(R，R)5空间两个向量a与b (b0)共线的充分必要条件是存在实数，使得_6空间向量的数量积：空间两个向量a和b的数量积是_，等于_，记作_7空间向量的数量积的运算律(1)交换律：ab_；(2)分配律：a(bc)_；(3)(ab)_ (R)8利用空间向量的数量积得到的结论(1)|a|_；(2)ab_；(3)cosa，b_ (a0，b0)一、选择题1在正方体ABCDA1B1C1D1中，向量表达式化简后的结果是()A. B. C. D.2四面体ABCD中，设M是CD的中点，则()化简的结果是()A. B. C. D.3已知O是ABC所在平面内一点，D为BC边中点且20，则等于()A. B. C. D24若a，b均为非零向量，则ab|a|b|是a与b共线的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件5在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，则等于()A0 B. C D6.如图，已知PA平面ABC，ABC120，PAABBC6，则PC等于()A6 B6C12 D144题号123456答案二、填空题7在正四面体OABC中，a，b，c，D为BC的中点，E为AD的中点，则_(用a，b，c表示)8若向量a，b满足|a|1，|b|2，且a与b的夹角为，则|ab|_.9在ABC中，有下列命题：；0；若()()0，则ABC为等腰三角形；若0，则ABC为锐角三角形其中正确的是_(填写正确的序号)三、解答题10.如图，已知在空间四边形OABC中，|，|.求证：.11.如图所示，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且C1CBC1CDBCD.求证：.能力提升12平面上O，A，B三点不共线，设a，b，则OAB的面积等于()A.B.C.D.13.已知在平行六面体ABCDABCD中，AB4，AD3，AA5，BAD90，BAADAA60.(1)求AC的长(如图所示)；(2)求与的夹角的余弦值1空间向量的加减法运算及加减法的几何意义和平面向量的是相同的2空间两个向量a，b的数量积，仍旧保留平面向量中数量积的形式，即：ab|a|b|cosa，b，这里a，b表示空间两向量所组成的角(0a，b)空间向量的数量积具有平面向量数量积的运算性质应用数量积可以判断空间两直线的垂直问题，可以求两直线夹角问题和线段长度问题即(1)利用abab0证线线垂直(a，b为非零向量)(2)利用ab|a|b|cosa，b，cos ，求两直线的夹角(3)利用|a|2aa，求解有关线段的长度问题2空间向量的运算知识梳理1向量ab2a(b)ab3(1)a(bc)(2)ba4向量a(1)|a|(2)000(3)a(4)abaa(5)(a)5ab6一个数|a|b|cosa，bab7(1)ba(2)abac(3)(a)b8(1)(2)ab0(3)作业设计1A如图所示，.2A如图所示，因()，所以().3CD为BC边中点，2，0，.4Aab|a|b|cosa，b|a|b|cosa，b1a，b0，当a与b反向时，不能成立5D()|2cos 60cos 60cos 60.6C，|2()2222222108266144，|12.7.abc解析如图，()()abc.8.解析|ab|.9解析错，；正确；正确，|；错，ABC不一定是锐角三角形10证明|，|，|，OACOAB.AOCAOB.()|cosAOC|cosAOB0，.11证明设a，b，c，依题意，|a|b|，又设，中两两所成夹角为，于是ab，c(ab)cacb|c|a|cos |c|b|cos 0，所以.12.C如图所示，SOAB|a|b|sina，b|a|b|a|b| |a|b| .13解(1)，|2()2|2|2|22()4232522(0107.5)85.|.(2)设与的夹角为，ABCD是矩形，|5.由余弦定理可得cos .- 8 -